2014-安徽卷理-06 单-函数的递推与求值

本题导读

本题考查带有附加项的函数递推关系求值。解题关键在于理解递推式 $f(x+\pi )=f(x)+\sin x$ 的结构，通过多次向后迭代（降次），将大自变量转化为已知定义域 $[0,\pi )$ 内的值，并结合三角函数的诱导公式计算累加项。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 设函数 $f(x)(x\in \mathbb{R})$ 满足 $f(x+\pi )=f(x)+\sin x$.当 $0\le x<\pi$ 时，$f(x)=0$，则 $f(\frac{23\pi }{6})=$()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析递推关系：已知 $f(x+\pi )=f(x)+\sin x$，目标是求 $f(\frac{23\pi }{6})$。

2. 确定迭代目标：由于已知区间是 $[0,\pi )$，需要将 $\frac{23\pi }{6}$ 通过不断减去 $\pi$ 来降到该区间内。

3. 执行迭代步进：

   • $\frac{23\pi }{6}-\pi =\frac{17\pi }{6}$

   • $\frac{17\pi }{6}-\pi =\frac{11\pi }{6}$

   • $\frac{11\pi }{6}-\pi =\frac{5\pi }{6}$（进入已知区间）

4. 累加计算：每次降级都会产生一个 $\sin$ 项。利用公式 $f(x+n\pi )=f(x)+{\sum }_{k=0}^{n-1}\sin (x+k\pi )$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用递推式进行降次迭代

由题意 $f(x+\pi )=f(x)+\sin x$：

1. 令 $x=\frac{17\pi }{6}$，则 $f(\frac{23\pi }{6})=f(\frac{17\pi }{6}+\pi )=f(\frac{17\pi }{6})+\sin \frac{17\pi }{6}$；

2. 令 $x=\frac{11\pi }{6}$，则 $f(\frac{17\pi }{6})=f(\frac{11\pi }{6}+\pi )=f(\frac{11\pi }{6})+\sin \frac{11\pi }{6}$；

3. 令 $x=\frac{5\pi }{6}$，则 $f(\frac{11\pi }{6})=f(\frac{5\pi }{6}+\pi )=f(\frac{5\pi }{6})+\sin \frac{5\pi }{6}$。

第二步：合并迭代式

将上述式子从后往前代入得：

$f(\frac{23\pi }{6})=f(\frac{5\pi }{6})+\sin \frac{5\pi }{6}+\sin \frac{11\pi }{6}+\sin \frac{17\pi }{6}$

第三步：计算各部分数值

因为 $\frac{5\pi }{6}\in [0,\pi )$，由题意 $f(\frac{5\pi }{6})=0$。

利用诱导公式计算 $\sin$ 值：

• $\sin \frac{5\pi }{6}=\sin (\pi -\frac{\pi }{6})=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$；

• $\sin \frac{11\pi }{6}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{6})=-\sin \frac{\pi }{6}=-\frac{1}{2}$；

• $\sin \frac{17\pi }{6}=\sin (3\pi -\frac{\pi }{6})=\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$。

第四步：求和得出结果

$f(\frac{23\pi }{6})=0+\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数递推关系与三角函数诱导公式。

2. 核心方法：反复用 $f(x+\pi )=f(x)+\sin x$ 降次到已知区间，再累加 $\sin$ 值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 递推式 $f(x+\pi )=f(x)+\sin x$ 的迭代降次。

2. 结论推广: $f(x+n\pi )=f(x)+{\sum }_{k=0}^{n-1}\sin (x+k\pi )$。

3. 方法推广: 大自变量递推求值先迭代到已知区间再求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 05.02 函数的四大性质
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-14 填-递推函数求值
• 2013-重庆卷文-09 单-奇函数求值
• 2013-山东卷文-03 单-奇函数求值