2014-安徽卷理-13 填-二项展开式

本题导读

本题考查二项展开式的系数应用。核心意图是要求学生通过坐标系中的散点识别出展开式的前三项系数，利用二项式定理通项公式建立方程组求解参数。

📌【题干】

Question

（2014年安徽卷(理)） 设 $a\ne 0$，$n$ 是大于 1 的自然数，$(1+\frac{x}{a}{)}^n$ 的展开式为 $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$.若点 $A_i(i,a_i)(i=0,1,2)$ 的位置如图所示，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 读图获取信息：从坐标图中提取点 $A_0,A_1,A_2$ 的纵坐标，即展开式的各项系数。由图可知 $a_0=1$，$a_1=3$，$a_2=4$。
2. 利用通项公式表示系数：根据二项展开式 $(1+\frac{x}{a}{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k(\frac{x}{a}{)}^k$，得出：
   • $a_1=C_n^1\cdot \frac{1}{a}=\frac{n}{a}$
   • $a_2=C_n^2\cdot \frac{1}{a^2}=\frac{n(n-1)}{2a^2}$
3. 列方程组求解：将已知系数代入，解关于 $a$ 和 $n$ 的方程组。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由图象确定系数值 观察散点图，$A_i$ 的坐标为 $(i,a_i)$：

• 当 $i=0$ 时，$a_0=1$（符合 $C_n^0=1$）；
• 当 $i=1$ 时，$a_1=3$；
• 当 $i=2$ 时，$a_2=4$。

第二步：根据二项式定理列出方程 二项式 $(1+\frac{x}{a}{)}^n$ 展开式的通项为 $T_{k+1}=C_n^k(\frac{x}{a}{)}^k=\frac{C_n^k}{a^k}{x}^k$。 因此系数 $a_k=\frac{C_n^k}{a^k}$。 由已知条件得：

1. $a_1=\frac{C_n^1}{a}=\frac{n}{a}=3$ —— ①
2. $a_2=\frac{C_n^2}{a^2}=\frac{n(n-1)}{2a^2}=4$ —— ②

第三步：求解方程组 由 ① 得 $n=3a$，代入 ② 中： $\frac{3a(3a-1)}{2a^2}=4$ $\frac{3(3a-1)}{2a}=4$ $9a-3=8a$ $a=3$ （此时 $n=3\times 3=9$，符合 $n>1$ 的自然数条件）。

故答案为 3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式的系数与通项。

2. 核心方法：由图象读出系数，用通项公式列方程组解 $a,n$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项式定理通项 $T_{k+1}=C_n^k(\frac{x}{a}{)}^k$。

2. 结论推广: $(1+\frac{x}{a}{)}^n$ 展开式中 $a_k=\frac{C_n^k}{a^k}$。

3. 方法推广: 二项式系数应用题先写通项，再据条件列方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷理-05 单-二项展开式的通项
• 2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项
• 2013-浙江卷理-11 填-二项式通项