2014-山东卷文-15 填-双曲线渐近线

本题导读

准线 $y=-\frac{p}{2}$ 截双曲线弦长 $2c$ ⟹ $p=\frac{2b^2}{a}$；$FA=c$ ⟹ $b^4=a^2{b}^2$ ⟹ $a=b$，渐近线 $y=\pm x$。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的焦距为 $2c$，右顶点为 $A$，抛物线 $x^2=2py$（$p>0$）的焦点为 $F$. 若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 $2c$，且 $FA=c$，则双曲线的渐近线方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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准线 $y=-\frac{p}{2}$ 截双曲线弦长 $2c$ ⟹ $p=\frac{2b^2}{a}$；$FA=c$ ⟹ $b^4=a^2{b}^2$ ⟹ $a=b$，渐近线 $y=\pm x$。

✅【答案】

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$y=\pm x$

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $x^2=2py$ 的准线为 $y=-\frac{p}{2}$。

把 $y=-\frac{p}{2}$ 代入双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{p^2}{4b^2}=1$，$x^2=a^2\left(1+\frac{p^2}{4b^2}\right)$。

截得线段关于 $y$ 轴对称，长 $2|x_0|=2c$，故 $|x_0|=c$，$c^2=a^2+\frac{a^2{p}^2}{4b^2}$。

用 $c^2=a^2+b^2$：$b^2=\frac{a^2{p}^2}{4b^2}$，$p=\frac{2b^2}{a}$。

抛物线焦点 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)=\left(0,\frac{b^2}{a}\right)$，双曲线右顶点 $A(a,0)$：

$F{A}^2=a^2+\frac{b^4}{a^2}=c^2=a^2+b^2$，得 $b^4=a^2{b}^2$，$a=b$。

渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x=\pm x$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的准线与焦点；双曲线截线段长；$a,b,c$ 关系

2. 核心方法：“截线段长”化成对称弦的一半，两条曲线的量都归到 $a,b,c,p$ 的方程组

3. 避坑指南：①双曲线关于两轴对称，截准线的弦长是 $2|x_0|$，别只算一半；②$FA=c$ 是距离等式 $F{A}^2=a^2+\frac{b^4}{a^2}$（$F$ 在 $y$ 轴上、$A$ 在 $x$ 轴上，天然构成直角三角形），别误当成两点横坐标之差。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆锥曲线组合小题（压轴填空），与 2014 年新课标Ⅰ理第 4 题、2014 年新课标Ⅰ文第 4 题同章。

2. 结论推广: 一般地，抛物线 $x^2=2py$ 的准线 $y=-\frac{p}{2}$、焦点 $(0,\frac{p}{2})$；双曲线截水平线的弦长可直接用 $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y_0^2}{b^2}$ 读出。

3. 方法推广: 双曲线 + 抛物线组合题：把两个几何条件分别翻译成关于 $a,b,c,p$ 的方程，消元到只剩 $a,b$ 的比例关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程
• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率