2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率

本题导读

$e^2=\frac{a^2+3}{a^2}=4\Rightarrow a^2=1$，$a=1$，选 D。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(文)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3}=1$（$a>0$）的离心率为 $2$，则 $a=$ ()

A. $2$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$　　　　　　　D. $1$

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$e^2=\frac{a^2+3}{a^2}=4\Rightarrow a^2=1$，$a=1$，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

双曲线中 $c^2=a^2+3$，离心率 $e=\frac{c}{a}=2$，即 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+3}{a^2}=4$。

解得 $a^2=1$，又 $a>0$，故 $a=1$。选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的标准方程与离心率

2. 核心方法：离心率平方化列方程，$c^2=a^2+b^2$ 消元

3. 避坑指南：离心率给 2，平方后是 4；解出 $a^2$ 后别忘开方并检验 $a>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 离心率定参基础题（doc 考点定位：双曲线），与 2014 年新课标Ⅰ理第 4 题同型。

2. 结论推广: 一般地，$e=\frac{c}{a}$ 只联系 $a$ 与 $c$；$b$ 通过 $c^2=a^2+b^2$ 参与方程，“知二求一”。

3. 方法推广: 圆锥曲线离心率题通法：把 $e$ 平方化为 $a,b$ 的方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程