2014-山东卷文-21 解-椭圆斜率面积

本题导读

(1) $\frac{x^2}{4}+y^2=1$；(2)① $k_1=-\frac{1}{2}{k}_2$，$\lambda =-\frac{1}{2}$；② $S=\frac{9|t|}{2(1+4t^2)}\le \frac{9}{8}$。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(文)） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线 $y=x$ 被椭圆 $C$ 截得的线段长为 $\frac{4\sqrt{10}}{5}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 过原点的直线与椭圆 $C$ 交于 $A$，$B$ 两点（$A$，$B$ 不是椭圆 $C$ 的顶点）. 点 $D$ 在椭圆 $C$ 上，且 $AD\perp AB$，直线 $BD$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $M$，$N$ 两点. ① 设直线 $BD$，$AM$ 的斜率分别为 $k_1$，$k_2$，证明存在常数 $\lambda$ 使得 $k_1=\lambda k_2$，并求出 $\lambda$ 的值； ② 求 $△OMN$ 面积的最大值.

🔍【思路分析】

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(1) $\frac{x^2}{4}+y^2=1$；(2)① $k_1=-\frac{1}{2}{k}_2$，$\lambda =-\frac{1}{2}$；② $S=\frac{9|t|}{2(1+4t^2)}\le \frac{9}{8}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ (2)① $\lambda =-\frac{1}{2}$；② 最大值 $\frac{9}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$c^2=a^2-b^2$，得 $b^2=\frac{a^2}{4}$。

$y=x$ 代入：$x^2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)=1$，$x^2=\frac{a^2}{5}$，交点 $\left(\pm \frac{a}{\sqrt{5}},\pm \frac{a}{\sqrt{5}}\right)$，弦长 $2\sqrt{2}\cdot \frac{a}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{10}}{5}$，解得 $a=2$，$b=1$。

椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

(2) $AB$ 过原点且 $A$、$B$ 非顶点，设 $A=(u,tu)$（$t\ne 0$），由对称性 $B=(-u,-tu)$，且 $u^2=\frac{4}{1+4t^2}$。

$AD\perp AB$，$AB$ 方向为 $(1,t)$，设 $D=A+s(t,-1)=(u+st,tu-s)$。代入椭圆并利用 $A$ 在椭圆上：

$s\left(\frac{-\frac{3}{2}\cdot 4tu+(t^2+4)s}{4}\right)=0$ 的非零根 $s=\frac{6ut}{t^2+4}$，

所以 $D=\left(\frac{u(7t^2+4)}{t^2+4},\frac{ut(t^2-2)}{t^2+4}\right)$。

① $\overrightarrow{BD}=\frac{2u(t^2+1)}{t^2+4}(4,t)$，故 $k_1=\frac{t}{4}$。

直线 $BD$：$y+tu=\frac{t}{4}(x+u)$。令 $y=0$ 得 $M=(3u,0)$；令 $x=0$ 得 $N=\left(0,-\frac{3tu}{4}\right)$。

$k_2=k_{AM}=\frac{0-tu}{3u-u}=-\frac{t}{2}$。

于是 $k_1=\frac{t}{4}=-\frac{1}{2}\times \left(-\frac{t}{2}\right)=-\frac{1}{2}{k}_2$，即存在常数 $\lambda =-\frac{1}{2}$。

② $S_{△OMN}=\frac{1}{2}\times |3u|\times \left|\frac{3tu}{4}\right|=\frac{9}{8}|t|u^2=\frac{9|t|}{2(1+4t^2)}$。

令 $r=|t|>0$：$1+4r^2\ge 4r$（$(2r-1{)}^2\ge 0$），所以

$S\le \frac{9r}{2\cdot 4r}=\frac{9}{8}$，当 $r=\frac{1}{2}$ 即 $|t|=\frac{1}{2}$ 时取等。

所以 $△OMN$ 面积的最大值为 $\frac{9}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的标准方程；椭圆的对称性；斜率比值定值；基本不等式最值

2. 核心方法：设参数 $t$ 统一表达 $A,B,D$ → 代椭圆解 $D$ → 斜率与面积全部化为 $t$ 的函数

3. 避坑指南：①$A$、$B$ 不是顶点 ⟺ $t\ne 0$ 且 $u\ne \pm 2$，写参数时要交代；②$D$ 的坐标由”直线 $AD$ 与椭圆的第二交点”解出，非零根 $s=\frac{6ut}{t^2+4}$ 的推导依赖 $A$ 在椭圆上这一步，跳步容易代错；③面积最大值用 $1+4r^2\ge 4r$（即 $(2r-1{)}^2\ge 0$）而不是普通均值不等式，取等 $|t|=\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 椭圆综合压轴题，与 2014 年新课标Ⅰ理第 20 题、新课标Ⅱ理第 20 题同族。

2. 结论推广: 一般地，“过原点弦 + 垂直”结构里用参数 $t$（斜率）表示一切点，椭圆的对称性保证 $B=-A$；$\frac{|t|}{1+4t^2}$ 型最值用 $(2r-1{)}^2\ge 0$ 一步到位。

3. 方法推广: 椭圆压轴的参数法：选一个参数（斜率或点的坐标参数）统一表达所有对象 → 定值/最值都化成单参数函数 → 用基本不等式或配方法收尾。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质
• 2014-新课标II卷理-20 解-椭圆定义