2014-山东卷理-10 单-椭圆定义与性质

本题导读

本题综合考查椭圆与双曲线的性质，重点在于离心率公式的运用以及双曲线渐近线方程的求解。通过已知离心率乘积建立 $a,b$ 的数量关系是解题关键。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 已知 $a>0,b>0$，椭圆 $C_1$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，双曲线 $C_2$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$C_1$ 与 $C_2$ 的离心率之积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $C_2$ 的渐近线方程为()

A. $x\pm \sqrt{2}y=0$　　　B. $\sqrt{2}x\pm y=0$　　　C. $x\pm 2y=0$　　　D. $2x\pm y=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出离心率表达式：分别根据椭圆和双曲线的定义，写出 $e_1$ 和 $e_2$ 的平方表达式，注意两者的 $c$ 值计算方式不同。
2. 利用已知条件建等式：根据 $e_1\cdot e_2=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得到 $(e_1\cdot e_2{)}^2=\frac{3}{4}$。
3. 求解 $a,b$ 的比例关系：化简关于 $a^4$ 和 $b^4$ 的等式，从而求出 $\frac{b}{a}$ 的值。
4. 确定渐近线方程：焦点在 $x$ 轴上的双曲线渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$，代入比例关系即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定离心率的平方 对于椭圆 $C_1$：$e_1^2=\frac{c_1^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}$； 对于双曲线 $C_2$：$e_2^2=\frac{c_2^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}$。

第二步：利用乘积条件求解 由题意得 $e_1\cdot e_2=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则有： $e_1^2\cdot e_2^2=\left(\frac{a^2-b^2}{a^2}\right)\cdot \left(\frac{a^2+b^2}{a^2}\right)=\frac{3}{4}$ 整理得： $\frac{a^4-b^4}{a^4}=\frac{3}{4}$ $1-\frac{b^4}{a^4}=\frac{3}{4}⟹\frac{b^4}{a^4}=\frac{1}{4}$

第三步：求出比例关系 由于 $a,b>0$，对上式开平方根得： $\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{2}⟹\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

第四步：得出渐近线方程 双曲线 $C_2:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 代入 $\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ 得： $y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}x⟹\sqrt{2}y=\pm x⟹x\pm \sqrt{2}y=0$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆 $e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$，双曲线 $e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$。

2. 核心方法：整体代换法。计算时保留 $a^2,b^2$ 整体，不要过早引入 $c$，可以使算式更简洁。

3. 避坑指南：混淆椭圆与双曲线的渐近线或离心率公式是常见错误。渐近线方程 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 中，$a$ 始终对应实轴（$x$ 项下的系数开方）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等轴双曲线（$e=\sqrt{2}$，渐近线垂直）。

2. 结论推广: 若椭圆与双曲线共焦点（即 $a_1^2-b_1^2=a_2^2+b_2^2$），此类题目会有更多特殊性质。

3. 方法推广: 面对渐近线问题，若已知 $e$，可利用 $e^2=1+(\frac{b}{a}{)}^2$ 快速转化。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-09 单-椭圆定义与性质
• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2013-辽宁卷理-15 填-椭圆性质