2013-浙江卷理-09 单-椭圆定义与性质

本题导读

本题考查椭圆的定义与性质，以及双曲线的定义与性质。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 9. 如图，$F_1,F_2$ 是椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 与双曲线 $C_2$ 的公共焦点，$A,B$ 分别是 $C_1,C_2$ 在第二、四象限的公共点.若四边形 $A{F}_{1}B{F}_2$ 为矩形，则 $C_2$ 的离心率是 $($\quad\quad$)$

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\frac{3}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 分析椭圆基本量：根据椭圆 $C_1$ 的方程求出 $a_1,c$ 以及焦距 $2c$。
2. 利用矩形性质：矩形 $A{F}_{1}B{F}_2$ 的对角线相等且互相平分，可知 $|A{F}_1{|}^2+|A{F}_2{|}^2=|F_1{F}_2{|}^2$（勾股定理）。
3. 利用定义建立方程：
   • 点 $A$ 在椭圆上：$|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a_1$。
   • 点 $A$ 在双曲线上：$|A{F}_2|-|A{F}_1|=2a_2$（注意 $A$ 在第二象限，离 $F_2$ 更远）。
4. 求解离心率：解方程组得到 $a_2$，由 $e=\frac{c}{a_2}$ 计算结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求椭圆基本量 对于椭圆 $C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$： $a_1^2=4,b_1^2=1⟹a_1=2,b_1=1$。 $c^2=a_1^2-b_1^2=3⟹c=\sqrt{3}$。 所以焦距 $|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{3}$。

第二步：根据几何性质建立等式 设 $|A{F}_1|=m,|A{F}_2|=n$。 因为四边形 $A{F}_{1}B{F}_2$ 为矩形，在 $Rt△A{F}_1{F}_2$ 中： $m^2+n^2=(2c{)}^2=(2\sqrt{3}{)}^2=12\text{(1)}$ 根据椭圆定义： $m+n=2a_1=4\text{(2)}$

第三步：求解焦半径 由 ② 得 $n=4-m$，代入 ① 得： $m^2+(4-m{)}^2=12$ $m^2+16-8m+m^2=12$ $2m^2-8m+4=0⟹m^2-4m+2=0$ 解得 $m=2\pm \sqrt{2}$。 由于 $A$ 在第二象限，$|A{F}_1|<|A{F}_2|$，故 $m=2-\sqrt{2},n=2+\sqrt{2}$。

第四步：求双曲线离心率 设双曲线 $C_2$ 的实半轴长为 $a_2$。根据双曲线定义： $2a_2=n-m=(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})=2\sqrt{2}$ 所以 $a_2=\sqrt{2}$。 离心率 $e=\frac{c}{a_2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆定义（和为定值）、双曲线定义（差为定值）、勾股定理与离心率公式。

核心方法：“焦半径方程组法”。凡是涉及共焦点曲线且有几何图形限制的题目，设焦半径为未知数列方程通常是最简捷的路径。

避坑指南：要注意双曲线定义中 $2a$ 是差的绝对值。根据点 $A$ 的位置判断哪条焦半径更长，从而确定 $2a_2=|A{F}_2|-|A{F}_1|$ 而非相反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线的焦半径公式、离心率的多种求法（构造 $a,c$ 齐次式）。

结论推广：若椭圆与双曲线共焦点，且在第一象限交点为 $P$，$\angle F_{1}P{F}_2=\theta$，则有 $S_{△F_{1}P{F}_2}=b_1^2\tan \frac{\theta }{2}=b_2^2\cot \frac{\theta }{2}$（本题中 $\theta =90^{\circ }$）。

方法推广：涉及圆锥曲线上的点与焦点构成的三角形，优先考虑定义和余弦定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆
• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆