2014-山东卷理-12 填-向量数量积

本题导读

本题考查向量数量积定义与三角形面积公式的综合应用。核心意图是利用向量条件求出两边之积，进而代入面积公式求解。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 在 $△ABC$ 中，已知 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\tan A$，当 $A=\frac{\pi }{6}$ 时，$△ABC$ 的面积为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 展开向量数量积：根据数量积定义 $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$，将已知条件 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\tan A$ 转化为关于边长 $b,c$ 和 $\cos A$ 的等式。
2. 求解边长乘积：将已知角度 $A=\frac{\pi }{6}$ 代入上述等式，求出 $bc$ 的具体数值。
3. 计算面积：利用三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 进行计算。

✅【答案】

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填：$\frac{1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由向量数量积条件求 $bc$ 设 $△ABC$ 中角 $A,B,C$ 对应的边长分别为 $a,b,c$。 由 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\tan A$ 得： $|\overrightarrow{AB}|\cdot |\overrightarrow{AC}|\cdot \cos A=\tan A$ 即 $c\cdot b\cdot \cos A=\tan A$。

当 $A=\frac{\pi }{6}$ 时： $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 代入得：$bc\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 解得：$bc=\frac{2}{3}$。

第二步：求三角形面积 利用三角形面积公式： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A$ 将 $bc=\frac{2}{3}$ 和 $A=\frac{\pi }{6}$ 代入： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}\times \sin \frac{\pi }{6}$ $=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$

故填：$\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量数量积 $\vec{b}\cdot \vec{c}=bc\cos A$；三角形面积 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$。

2. 核心方法：整体代换法。题目不需要求出 $b$ 和 $c$ 的具体值，只需通过向量关系求出它们的乘积 $bc$ 即可。

3. 避坑指南：注意 $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$。若将此代入原式，可直接得到 $bc{\cos }^{2}A=\sin A$，这也是一种化简思路，但直接求值更简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。

2. 结论推广: 在 $△ABC$ 中，若 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=k$，则 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}k\tan A$。

3. 方法推广: 解决涉及三角形边角关系的向量题，通常先将其转化为代数方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积