2014-山东卷理-14 填-二项式通项

本题导读

本题考查二项展开式的通项公式及基本不等式的应用。通过指定项的系数建立参数 $a,b$ 的等量关系，再利用基本不等式求解代数式的最小值。

📌【题干】

Question

（2014年山东卷(理)） 若 $(a{x}^2+\frac{b}{x}{)}^6$ 的展开式中 $x^3$ 项的系数为 $20$，则 $a^2+b^2$ 的最小值为 $\underline{}$. （注：根据题目解析图示，原题干中的指数应为 $6$，基底项为 $a{x}^2$.）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$，写出 $(a{x}^2+\frac{b}{x}{)}^6$ 的一般项。
2. 确定 $r$ 的值：合并 $x$ 的指数，令其等于 $3$，解出对应的项数 $r$。
3. 建立等式：根据 $x^3$ 项的系数为 $20$，列出关于 $a,b$ 的方程，求出 $ab$ 的乘积。
4. 求最值：利用基本不等式 $a^2+b^2\ge 2ab$，代入 $ab$ 的值即可求出 $a^2+b^2$ 的最小值。

✅【答案】

点击查看答案

填：$2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出二项展开式的通项 $(a{x}^2+\frac{b}{x}{)}^6$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_6^r(a{x}^2{)}^{6-r}\cdot (\frac{b}{x}{)}^r$ $=C_6^r{a}^{6-r}{b}^r{x}^{12-2r}\cdot x^{-r}$ $=C_6^r{a}^{6-r}{b}^r{x}^{12-3r}$

第二步：确定 $x^3$ 项对应的 $r$ 令 $12-3r=3$，解得 $3r=9$，即 $r=3$。

第三步：利用系数关系求 $ab$ 当 $r=3$ 时，系数为 $C_6^3{a}^{6-3}{b}^3=20$。 计算组合数 $C_6^3=\frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}=20$。 所以 $20a^3{b}^3=20$，即 $a^3{b}^3=1$。 由此可得 $ab=1$。

第四步：求 $a^2+b^2$ 的最小值 利用基本不等式： $a^2+b^2\ge 2\sqrt{a^2{b}^2}=2|ab|$ 因为 $ab=1$， 所以 $a^2+b^2\ge 2\times 1=2$。 当且仅当 $a^2=b^2$（即 $a=b=1$ 或 $a=b=-1$）时，等号成立。

故填：$2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项 $T_{r+1}=C_n^r{A}^{n-r}{B}^r$；基本不等式 $a^2+b^2\ge 2ab$。

2. 核心方法：“先定 $r$，再列方程”。处理二项式特定项问题的标准流程是先写通项，再合并 $x$ 的幂次，最后对比系数。

3. 避坑指南：注意 $x$ 指数的合并计算。$(x^2{)}^{6-r}$ 是 $x^{12-2r}$，容易误算为 $12-r$。此外，在使用基本不等式时，必须确认等号成立的条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项式系数性质（对称性、最大值）、赋值法求各项系数和。

2. 结论推广: 对于 $(a{x}^k+\frac{b}{x^m}{)}^n$，若存在常数项，则 $nk$ 必须能被 $k+m$ 整除。

3. 方法推广: 涉及系数最值问题，常将二项式定理与基本不等式或导数结合。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项
• 2013-浙江卷理-11 填-二项式通项
• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项