2014-广东卷文-04 单-线性规划

本题导读

$z=2x+y$ 的最值在可行域顶点处取得，逐顶点代入。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y⩽8,\\ 0⩽x⩽4,\\ 0⩽y⩽3,\end{array}$ 则 $z=2x+y$ 的最大值等于()

A. $7$　　　　　　　B. $8$　　　　　　　C. $10$　　　　　　　D. $11$

🔍【思路分析】

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可行域是矩形截角多边形，顶点代入比较。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

可行域顶点：$(0,0)$，$(4,0)$，$(4,2)$，$(2,3)$，$(0,3)$（由 $x=4$ 与 $x+2y=8$ 交于 $(4,2)$，$y=3$ 与 $x+2y=8$ 交于 $(2,3)$）。 逐点代入 $z=2x+y$：$0$，$8$，$10$，$7$，$3$。故最大值为 $10$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划（目标函数最值）

2. 核心方法：顶点代入法

3. 避坑指南：可行域顶点要找全——$x+2y⩽8$ 与 $x=4$、$y=3$ 的两个交点 $(4,2)$、$(2,3)$ 都在边界上，漏掉 $(4,2)$ 会误选 B。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性目标函数在凸多边形上的最值必在顶点处取得。

2. 结论推广: 推广：目标函数含绝对值或与距离相关时，几何意义（截距、斜率、距离）更直接。

3. 方法推广: 线性规划流程：画域 → 定顶点 → 代入比较（或平移直线）。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-09 单-平面区域的表示
• 2014-北京卷理-06 单-线性规划