2014-广东卷文-08 单-双曲线基本量

本题导读

两曲线实轴都是 $\sqrt{16}=4$，比较虚半轴与 $c^2$。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(文)） 若实数 $k$ 满足 $0<k<5$，则曲线 $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5-k}=1$ 与曲线 $\frac{x^2}{16-k}-\frac{y^2}{5}=1$ 的()

A. 实半轴长相等　B. 虚半轴长相等　C. 离心率相等　D. 焦距相等

🔍【思路分析】

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$c^2=$ 实轴平方 + 虚轴平方，两曲线都是 $16+(5-k)=21-k$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

两曲线都是焦点在 $x$ 轴上的双曲线。 曲线一：实半轴 $\sqrt{16}=4$，虚半轴 $\sqrt{5-k}$，$c^2=16+(5-k)=21-k$； 曲线二：实半轴 $\sqrt{16-k}$，虚半轴 $\sqrt{5}$，$c^2=(16-k)+5=21-k$。 两曲线 $c^2$ 相同（$0<k<5$ 保证各分母为正），故焦距 $2c$ 相等；而实半轴 $4$ 与 $\sqrt{16-k}$ 仅当 $k=0$ 时相等，虚半轴、离心率一般不等。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的基本量（$a,b,c,e$）

2. 核心方法：$c^2=a^2+b^2$ 的对称性

3. 避坑指南：两曲线的 $a^2$、$b^2$ 恰好”交换”，$c^2=a^2+b^2$ 不变——但 $a$、$b$ 本身和 $e=c/a$ 一般随 $k$ 变化；注意 $0<k<5$ 只是保证分母为正的条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 中 $c^2=a^2+b^2$ 的对称结构：交换 $a^2,b^2$ 焦距不变（双曲线的”共焦”现象，区别于椭圆 $c^2=a^2-b^2$）。

2. 结论推广: 推广：椭圆中 $a^2$ 固定时交换 $b^2$ 与 $c^2$ 不改变焦点位置。

3. 方法推广: 比较两圆锥曲线的量：把 $a,b,c,e$ 都用参数写出再比较，勿凭直觉。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷理-04 单-双曲线方程
• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程