2014-广东卷理-03 单-线性规划

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域以及目标函数的最值求解。通过数形结合，将代数最值转化为几何中直线的截距变化。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}y\le x\\ x+y\le 1\\ y\ge -1\end{array}$，且 $z=2x+y$ 的最大值和最小值分别为 $m$ 和 $n$，则 $m-n=$ ()

A. 8　　　　　　　B. 7　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. 5

🔍【思路分析】

破题导航

1. 画出可行域：根据约束条件中的三个不等式，在坐标系中画出对应的半平面交集，得到一个封闭的三角形区域。

2. 确定目标函数几何意义：将 $z=2x+y$ 变形为 $y=-2x+z$。这表示一组斜率为 $-2$ 的平行直线，其中 $z$ 是直线的纵截距。

3. 寻找极值点：通过平移直线 $y=-2x+z$，观察当直线经过可行域的哪些顶点时，$z$ 取得最大值和最小值。

4. 计算结果：求出对应顶点的坐标，代入 $z$ 的表达式得出 $m$ 和 $n$，最后计算 $m-n$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：画出可行域

约束条件确定的可行域是以直线 $y=x$、$x+y=1$、$y=-1$ 为边界的封闭区域。

解方程组确定三个顶点坐标：

• 由 $\{\begin{array}{l}y=x\\ x+y=1\end{array}$ 得点 $A(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$；

• 由 $\{\begin{array}{l}y=-1\\ x+y=1\end{array}$ 得点 $B(2,-1)$；

• 由 $\{\begin{array}{l}y=x\\ y=-1\end{array}$ 得点 $C(-1,-1)$。

第二步：平移目标函数直线

目标函数 $z=2x+y$ 对应直线 $l:y=-2x+z$。

• 当直线 $l$ 经过点 $B(2,-1)$ 时，截距 $z$ 最大，此时：

  $m=2\times 2+(-1)=3$

• 当直线 $l$ 经过点 $C(-1,-1)$ 时，截距 $z$ 最小，此时：

  $n=2\times (-1)+(-1)=-3$

第三步：求值

$m-n=3-(-3)=6$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划求目标函数最值。

2. 核心方法：画可行域求顶点，平移直线确定最值点代入计算。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线性规划最优解在顶点处取得。

2. 结论推广: $z=2x+y$ 的最大最小值在可行域顶点取得。

3. 方法推广: 线性规划先求顶点再比较代入值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-11 单-线性规划
• 2015-福建卷文-10 单-线性规划
• 2015-湖南卷文-04 单-线性规划