2015-福建卷文-10 单-线性规划

本题导读

含参数 $m$ 的线性规划。可行域形状随 $m$ 变化，须分类讨论：只有 $m=1$ 时最大值恰为 $2$。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩾0,\\ x-2y+2⩾0,\\ mx-y⩽0,\end{array}$ 若 $z=2x-y$ 的最大值为 $2$，则实数 $m$ 等于 ()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. $y⩾mx$ 与 $y⩾-x$、$y⩽\frac{x+2}{2}$ 联立，先看 $m⩽\frac{1}{2}$ 时可行域无界，$z$ 无最大值。
2. $m>\frac{1}{2}$ 时三顶点为 $(0,0)$、$\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right)$、$\left(\frac{2}{2m-1},\frac{2m}{2m-1}\right)$。
3. 令最大顶点值等于 $2$ 解出 $m$，再验证。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

约束即 $y⩾-x$，$y⩽\frac{x+2}{2}$，$y⩾mx$.

若 $m⩽\frac{1}{2}$：沿方向 $(1,m)$ 可行域无界，$z=(2-m)t\to +\infty$，无最大值，舍去.

若 $m>\frac{1}{2}$：三条边界两两相交，可行域顶点为

$(0,0),\left(-\frac{2}{3},\frac{2}{3}\right),\left(\frac{2}{2m-1},\frac{2m}{2m-1}\right).$

计算 $z=2x-y$：依次为 $0$、$-2$、$\frac{4-2m}{2m-1}$.

当 $m⩾2$ 时第三个顶点值 $⩽0$，最大值为 $0\ne 2$；当 $\frac{1}{2}<m<2$ 时最大值为 $\frac{4-2m}{2m-1}$，令其等于 $2$：

$4-2m=4m-2⟹m=1.$

经检验 $m=1$ 时顶点 $(2,2)$ 处 $z=4-2=2$，符合题意。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划；含参数可行域的分类讨论；目标函数的几何意义。

2. 核心方法：“先定参、再画域、后算顶点”：含参线性规划必须先讨论参数确定可行域形状。

3. 避坑指南：不能默认可行域是三角形直接令 $z=2$ 解 $m$——$m⩽\frac{1}{2}$ 时可行域无界，根本没有最大值；分类讨论是本题唯一的正路。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：含参数的线性规划是各地卷的常客，福建卷此题把”参数藏在第三条边界”里，比普通线性规划高一个档次。

2. 结论推广: 若把目标改为 $z=x+my$，参数同时出现在边界与目标中，需对 $m$ 的符号再作一层讨论。

3. 方法推广: 含参线性规划通用流程：① 按参数分段画可行域；② 判断有界性；③ 顶点代入目标函数；④ 解方程并回代检验。

🔗【关联脉络】

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• 2015-福建卷理-5