2014-广东卷理-04 单-双曲线方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程及其几何性质。通过对比两个含参双曲线方程的几何量（$a^2$、$b^2$、$c^2$），判断它们在参数变化下保持不变的性质。

📌【题干】

Question

（2014年广东卷(理)） 若实数 $k$ 满足 $0<k<9$，则曲线 $\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9-k}=1$ 与曲线 $\frac{x^2}{25-k}-\frac{y^2}{9}=1$ 的()

A. 离心率相等　B. 虚半轴长相等　C. 实半轴长相等　D. 焦距相等

🔍【思路分析】

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1. 识别曲线类型：由于 $0<k<9$，可知 $25>0,9-k>0,25-k>0,9>0$。两方程均符合双曲线标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

2. 提取几何量：

   • 曲线 1：$a_1^2=25$，$b_1^2=9-k$。

   • 曲线 2：$a_2^2=25-k$，$b_2^2=9$。

3. 计算核心指标：

   • 实半轴长 $a$、虚半轴长 $b$。

   • 焦半距平方 $c^2=a^2+b^2$。

   • 离心率 $e=\frac{c}{a}$。

4. 对比验证：观察各指标是否与 $k$ 有关或是否相等。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

对于曲线 $C_1:\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{9-k}=1$：

其实半轴长的平方 $a_1^2=25$，虚半轴长的平方 $b_1^2=9-k$。

其焦半距的平方为：

$c_1^2=a_1^2+b_1^2=25+(9-k)=34-k$

对于曲线 $C_2:\frac{x^2}{25-k}-\frac{y^2}{9}=1$：

其实半轴长的平方 $a_2^2=25-k$，虚半轴长的平方 $b_2^2=9$。

其焦半距的平方为：

$c_2^2=a_2^2+b_2^2=(25-k)+9=34-k$

比较各选项：

• C. 实半轴长：$a_1=5,a_2=\sqrt{25-k}$，不相等。

• B. 虚半轴长：$b_1=\sqrt{9-k},b_2=3$，不相等。

• D. 焦距：因为 $c_1^2=c_2^2=34-k$，所以 $c_1=c_2$，即焦距 $2c$ 相等。正确。

• A. 离心率：$e_1=\frac{\sqrt{34-k}}{5}$，$e_2=\frac{\sqrt{34-k}}{\sqrt{25-k}}$，不相等。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的几何量与离心率。

2. 核心方法：分别求两曲线 $c^2=a^2+b^2=34-k$ 得焦距相等。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线 $c^2=a^2+b^2$ 的关系。

2. 结论推广: 两双曲线焦半距平方相等则焦距相等。

3. 方法推广: 比较圆锥曲线几何量逐项计算 $a,b,c$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-09 单-双曲线方程
• 2013-陕西卷理-11 填-双曲线方程
• 2013-湖北卷理-05 单-双曲线方程