2014-新课标II卷理-14 填-两角和差公式

本题导读

本题考查三角恒等变换的综合应用。核心技巧在于对角度 $(x+2\varphi )$ 进行巧妙拆分，转化为 $(x+\varphi )+\varphi$，进而利用两角和的正弦公式展开，通过抵消项实现函数的极简合并，最后求解最值。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 函数 $f(x)=\sin (x+2\varphi )-2\sin \varphi \cos (x+\varphi )$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察角度关系：发现表达式中存在三个角：$(x+2\varphi )$，$\varphi$，$(x+\varphi )$。其中 $(x+2\varphi )=(x+\varphi )+\varphi$。
2. 利用拆角法展开：将 $\sin (x+2\varphi )$ 变形为 $\sin [(x+\varphi )+\varphi ]$，应用两角和的正弦公式展开。
3. 合并同类项：将展开后的式子与 $-2\sin \varphi \cos (x+\varphi )$ 合并，观察是否能抵消或进一步化简。
4. 确定最终解析式：化简后的 $f(x)$ 往往是一个简单的正弦型函数，根据其性质得出最大值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：拆角并展开 利用 $(x+2\varphi )=(x+\varphi )+\varphi$，将原函数展开： $f(x)=\sin [(x+\varphi )+\varphi ]-2\sin \varphi \cos (x+\varphi )$ 根据两角和的正弦公式 $\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$： $f(x)=\sin (x+\varphi )\cos \varphi +\cos (x+\varphi )\sin \varphi -2\sin \varphi \cos (x+\varphi )$

第二步：合并同类项 观察发现后两项均为 $\sin \varphi \cos (x+\varphi )$ 的倍数： $f(x)=\sin (x+\varphi )\cos \varphi -\sin \varphi \cos (x+\varphi )$

第三步：逆用和差公式 上述式子符合两角差的正弦公式 $\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =\sin (\alpha -\beta )$。 令 $\alpha =x+\varphi ,\beta =\varphi$： $f(x)=\sin [(x+\varphi )-\varphi ]$ $f(x)=\sin x$

第四步：求最大值 对于函数 $f(x)=\sin x$，其值域为 $[-1,1]$。 故 $f(x)$ 的最大值为 $1$。

故答案为 1

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和差公式与三角恒等变换。

2. 核心方法：拆角 $x+2\varphi =(x+\varphi )+\varphi$ 展开，合并后逆用差角公式化为 $\sin x$ 求最值。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 两角和与差的正弦公式、拆角与凑角技巧。

2. 结论推广: 利用角度关系拆角合并可把复杂三角式化为单一正弦（余弦）型函数。

3. 方法推广: 类似的变形还有 $\cos (x+2\varphi )+2\sin \varphi \sin (x+\varphi )$，化简结果同样具有对称美。 6. 知识关联: 积化和差与和差化积公式在更高要求的竞赛或旧教材中常被用到，本题采用基础的和差公式即可优雅解决。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-17 解-两角和差公式
• 2013-江西卷理-16 解-两角和与差的公式
• 2013-新课标II卷理-15 填-两角和的正切公式