2013-江西卷理-16 解-两角和与差的公式

本题导读

本题考查两角和与差的公式。核心在于恒等变换法、均值不等式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，已知 $\cos C+(\cos A-\sqrt{3}\sin A)\cos B=0$.

(1)求角 $B$ 的大小；

(2)若 $a+c=1$，求 $b$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求角）：
   • 消元方向：三角形内角和 $A+B+C=\pi$，则 $\cos C=-\cos (A+B)$。
   • 展开合并：展开 $-\cos (A+B)$，与已知式中的项进行抵消与合并。
   • 提公因式：利用 $\sin A\ne 0$ 的特点进行约简，最终转化为 $\tan B$ 或特定的正弦关系。
2. 第二问（求范围）：
   • 工具选择：已知角 $B$ 和 $a+c$，求 $b$，首选余弦定理：$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。
   • 目标转化：将 $a^2+c^2$ 转化为 $(a+c{)}^2-2ac=1-2ac$。
   • 利用不等式：由于 $a,c>0$ 且 $a+c=1$，根据均值不等式 $ac\le (\frac{a+c}{2}{)}^2$ 确定 $ac$ 的上界，进而求得 $b$ 的下界。
   • 几何限制：利用三角形两边之和大于第三边（$b<a+c$）确定 $b$ 的上界。

✅【答案】

点击查看答案

所以 $B=\frac{\pi }{3}$。；综上所述，$b$ 的取值范围是 $[\frac{1}{2},1)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 在 $△ABC$ 中，$C=\pi -(A+B)$，所以 $\cos C=-\cos (A+B)$。 代入已知条件得： $-\cos (A+B)+(\cos A-\sqrt{3}\sin A)\cos B=0$ $-(\cos A\cos B-\sin A\sin B)+\cos A\cos B-\sqrt{3}\sin A\cos B=0$ $-\cos A\cos B+\sin A\sin B+\cos A\cos B-\sqrt{3}\sin A\cos B=0$ $\sin A\sin B-\sqrt{3}\sin A\cos B=0$ 因为 $A$ 是三角形内角，所以 $\sin A\ne 0$，两边同除以 $\sin A$： $\sin B-\sqrt{3}\cos B=0⟹\tan B=\sqrt{3}$ 又因为 $0<B<\pi$， 所以 $B=\frac{\pi }{3}$。

（2）解： 由余弦定理及 $B=\frac{\pi }{3}$ 得： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos \frac{\pi }{3}=a^2+c^2-ac$ 将 $a^2+c^2$ 变形为 $(a+c{)}^2-2ac$： $b^2=(a+c{)}^2-3ac=1-3ac$ 因为 $a,c>0$，由均值不等式得： $ac\le (\frac{a+c}{2}{)}^2=(\frac{1}{2}{)}^2=\frac{1}{4}$（当且仅当 $a=c=\frac{1}{2}$ 时取等号） 所以 $b^2=1-3ac\ge 1-3\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$。 由此得 $b\ge \frac{1}{2}$。 又由三角形三边关系得：$b<a+c=1$。 综上所述，$b$ 的取值范围是 $[\frac{1}{2},1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形内角和转换、两角差的正弦/余弦公式、余弦定理。 2. 关键逻辑：在解三角形的范围问题时，“几何意义”（三边关系）和**“代数最值”**（均值不等式）必须同时考虑，否则容易漏掉开区间的端点。

核心方法：见详细解析

避坑指南：第一问化简时，不要急于把所有角都化为边。本题中角的关系非常明显，直接使用三角恒等变换效率更高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理与面积公式的综合应用、基本不等式的等号成立条件。

结论推广：在 $a+c$ 为定值且角 $B$ 为定值的条件下，当三角形为等腰三角形（$a=c$）时，$b$ 取得最小值。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-13 填-和角的正切公式