2014-江苏卷-04 填-古典概型

本题导读

本题考查古典概型。关键在于把“一次随机取 $2$ 个数”对应到组合数 ${\mathrm{C}}_4^2$，再逐对检查乘积是否为 $6$，最后用“有利结果数 ÷ 总结果数”求概率。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 从 $1,2,3,6$ 这 $4$ 个数中一次随机地取 $2$ 个数，则所取 $2$ 个数的乘积为 $6$ 的概率是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 算总数：从 $4$ 个数中任取 $2$ 个，共有 ${\mathrm{C}}_4^2$ 种等可能的取法。
2. 找有利：逐一列出所有取法，挑出乘积为 $6$ 的。
3. 算概率：古典概型概率 $P=\frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求总的取法数 从 $1,2,3,6$ 中一次随机取 $2$ 个数，所有等可能的取法为 $(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6)$ 共有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种。

第二步：找乘积为 $6$ 的取法 逐对相乘：$(1,6)$ 与 $(2,3)$ 的乘积均为 $6$，共 $2$ 种。

第三步：求概率 $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

故所求概率为 $\frac{1}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的概率计算，组合数计数与列举法。

2. 核心方法：先把“无序一次取几个”翻译成组合数 ${\mathrm{C}}_n^m$ 得到总数，再用列举或分步计数统计有利结果数；当数目不大时，直接列举最稳妥。

3. 避坑指南：一次取出 $2$ 个数是无序的，$(1,6)$ 与 $(6,1)$ 是同一种取法，不能重复计数；若误用排列数 ${\mathrm{A}}_4^2$ 当作总数，概率值就会出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于古典概型的基本模型，考查组合计数与等可能事件的判定。

2. 结论推广: 在 $n$ 个互异元素中任取 $m$ 个，总取法为 ${\mathrm{C}}_n^m$；若要求“两数之积为定值 $k$”，可先对 $k$ 作因数分解，再判断每个因数对是否都在所给集合中。

3. 方法推广: 古典概型问题的通用流程是“定等可能性 → 数总数 → 数有利数 → 作比”；元素较少时优先列举，元素较多时优先组合计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-08 填-古典概型
• 2013-天津卷理-16 解-古典概型
• 2013-安徽卷文-05 单-古典概型录用