2013-天津卷理-16 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型。核心在于组合分析法、间接法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年天津卷(理)） 一个盒子里面装有 7 张卡片，其中红色卡片 4 张，编号分别为 1, 2, 3, 4；白色卡片 3 张，编号分别为 2, 3, 4.从盒子中任取 4 张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.

(1)求取出的 4 张卡片中，含有编号为 3 的卡片的概率；

(2)设取出的 4 张卡片中，红色卡片编号的最大值为 $X$，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（古典概型）：
   • 样本空间：从 7 张中任取 4 张，总数为 $C_7^4$。
   • 目标事件：编号为 3 的卡片共有 2 张（红3和白3）。
   • 法一（直接法）：含 1 张编号为 3 的卡片 + 含 2 张编号为 3 的卡片。
   • 法二（间接法）：$1-P(\text{不含编号为 3 的卡片})$。不含 3 的卡片有 $7-2=5$ 张。
2. 第二问（分布列与期望）：
   • 确定 $X$ 的取值：红色卡片编号有 1, 2, 3, 4。由于要从中取出 4 张卡片，即使 4 张全取白色也只有 3 张，因此必然包含红色卡片。$X$ 的取值范围是 $\{1,2,3,4\}$。
   • 计算概率 $P(X=k)$：最大值为 $k$，意味着编号为 $k$ 的红色卡片必选，编号大于 $k$ 的红色卡片必不选，剩余卡片从编号小于 $k$ 的红色卡片及所有白色卡片中任选。
   • 计算期望：利用公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$。

✅【答案】

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$E(X)=\frac{1+8+30+80}{35}=\frac{119}{35}=\frac{17}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 从 7 张卡片中任取 4 张，所有可能的情况共有 $C_7^4=\frac{7\times 6\times 5\times 4}{4\times 3\times 2\times 1}=35$ 种。 不含编号为 3 的卡片的情况有 $C_5^4=5$ 种。 含有编号为 3 的卡片的概率 $P=1-\frac{C_5^4}{C_7^4}=1-\frac{5}{35}=\frac{30}{35}=\frac{6}{7}$。

（Ⅱ）解： 随机变量 $X$ 的可能取值为 1, 2, 3, 4。

• $P(X=1)$：红色卡片最大编号为 1，即选了红1，且不能选红2, 红3, 红4。剩余 3 张只能从 3 张白色卡片中选。 $P(X=1)=\frac{C_1^1\cdot C_3^3}{C_7^4}=\frac{1}{35}$；
• $P(X=2)$：红色卡片最大编号为 2，即选了红2，不选红3, 红4。剩余 3 张从红1和 3 张白色卡片（共 4 张）中选。 $P(X=2)=\frac{C_1^1\cdot C_4^3}{C_7^4}=\frac{4}{35}$；
• $P(X=3)$：红色卡片最大编号为 3，即选了红3，不选红4。剩余 3 张从红1, 红2和 3 张白色卡片（共 5 张）中选。 $P(X=3)=\frac{C_1^1\cdot C_5^3}{C_7^4}=\frac{10}{35}=\frac{2}{7}$；
• $P(X=4)$：红色卡片最大编号为 4，即必选红4。剩余 3 张从其余 6 张卡片中任选。 $P(X=4)=\frac{C_1^1\cdot C_6^3}{C_7^4}=\frac{20}{35}=\frac{4}{7}$。

$X$ 的分布列如下：

$X$	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{35}$	$\frac{4}{35}$	$\frac{10}{35}$	$\frac{20}{35}$

数学期望 $E(X)=1\times \frac{1}{35}+2\times \frac{4}{35}+3\times \frac{10}{35}+4\times \frac{20}{35}$ $E(X)=\frac{1+8+30+80}{35}=\frac{119}{35}=\frac{17}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型的组合计算；分层抽样下的最大值变量概率计算。

核心方法：“指定必选法”。在处理最大值 $X=k$ 的问题时，核心逻辑是“$k$ 必选，大于 $k$ 的必不选，小于 $k$ 的随意”。

避坑指南：第一问注意编号为 3 的卡片有两张（不同颜色），不要当成 1 张计算；第二问验证分布列概率之和是否为 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：超几何分布、期望的线性性质。

结论推广：若题目改为“红色卡片编号的最小值”，思路相同，只需反向限制。

方法推广：“指定必选法”。在处理最大值 $X=k$ 的问题时，核心逻辑是“$k$ 必选，大于 $k$ 的必不选，小于 $k$ 的随意”。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型