2014-江苏卷-07 填-等比数列通项

本题导读

本题考查等比数列通项公式的应用。通过已知项之间的递推关系建立关于公比 $q$ 的方程，求解后再利用通项公式计算目标项。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷）在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} = 1$ ， $a_{8} = a_{6} + 2 a_{4}$ ，则 $a_{6}$ 的值是 .

🔍【思路分析】

破题导航

设基本量：设等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 。由于各项均为正数，可知 $a_{1} > 0$ 且 $q > 0$ 。

列方程：将已知关系 $a_{8} = a_{6} + 2 a_{4}$ 全部转化为含有 $a_{1}$ 和 $q$ 的表达式。

化简求解：通过消元或提取公因式，构造关于 $q^{2}$ 的二次方程，求出公比。

计算目标项：利用 $a_{6} = a_{2} \cdot q^{4}$ 快速求值。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用通项公式建立方程设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ( $q > 0$ )。由 $a_{8} = a_{6} + 2 a_{4}$ 可得： $a_{1} q^{7} = a_{1} q^{5} + 2 a_{1} q^{3}$ 由于 $a_{n} > 0$ ，等式两边同时除以 $a_{1} q^{3}$ 得： $q^{4} = q^{2} + 2$ 整理得关于 $q^{2}$ 的一元二次方程： $(q^{2})^{2} - q^{2} - 2 = 0$

第二步：求解公比因式分解得： $(q^{2} - 2) (q^{2} + 1) = 0$ 因为 $q^{2} > 0$ ，所以 $q^{2} = 2$ 。

第三步：求 $a_{6}$ 的值利用等比数列的性质，已知 $a_{2} = 1$ ： $a_{6} = a_{2} \cdot q^{6 - 2} = a_{2} \cdot q^{4}$ 代入 $a_{2} = 1$ 和 $q^{2} = 2$ ： $a_{6} = 1 \cdot (q^{2})^{2} = 1 \cdot 2^{2} = 4$

故答案为 $4$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列通项公式 $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}$ 及其变形 $a_{n} = a_{m} q^{n - m}$ 。

核心方法：方程思想。处理数列关系式时，统一化为首项和公比（基本量）是万能途径。

避坑指南：注意“各项均为正数”这一前提，它确保了公比 $q$ 只能取正值，且在方程化简过程中可以大胆除以 $q$ 的幂次。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 等比中项、等比数列的前 $n$ 项和公式。

结论推广: 下标成等差数列的项可用 $a_{n} = a_{m} q^{n - m}$ 快速换算。

方法推广: 在处理如 $a_{8}, a_{6}, a_{4}$ 这种下标成等差数列的项时，也可以设 $x = \frac{a _{6}}{a _{4}} = q^{2}$ ，原式变为 $a_{4} x^{2} = a_{4} x + 2 a_{4}$ ，计算更为简洁。

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2013-辽宁卷理-14 填-等比数列通项

2013-新课标II卷理-03 单-等比数列通项

2013-北京卷理-10 填-等比数列通项

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2014-江苏卷-07 填-等比数列通项

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