2011-大纲卷文-17 解-等比数列基本量

本题导读

本题考查等比数列的通项公式，以及等比数列的前 $n$ 项和。

📌【题干】

Question

（2011年大纲卷(文)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，已知 $a_2=6$，$6a_1+a_3=30$，求 $a_n$ 和 $S_n$．

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $a_2=6$、$6a_1+a_3=30$ 消元得 $6a_1+6q=30$
2. 步骤2：与 $a_{1}q=6$ 联立解出两组 $(a_1,q)$

✅【答案】

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$a_n=3\cdot 2^{n-1}$，$S_n=3(2^n-1)$；或 $a_n=2\cdot 3^{n-1}$，$S_n=3^n-1$

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$。$a_2=a_{1}q=6$，$a_3=a_{2}q=6q$。

$6a_1+a_3=30\Rightarrow 6a_1+6q=30\Rightarrow a_1+q=5$。

于是 $a_1$、$q$ 是方程 $t^2-5t+6=0$ 的两根，$\{a_1,q\}=\{3,2\}$。

① $a_1=3$，$q=2$：$a_n=3\cdot 2^{n-1}$，$S_n=\frac{3(2^n-1)}{2-1}=3(2^n-1)$。

② $a_1=2$，$q=3$：$a_n=2\cdot 3^{n-1}$，$S_n=\frac{2(3^n-1)}{3-1}=3^n-1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量的方程思想；求和公式 $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$

核心方法：基本量法：两个独立条件解出 $a_1$ 与 $q$；方程因式分解出现双解必须分别讨论

避坑指南：本题有两组解，只写一组会扣一半分；$S_n$ 公式中 $q-1$ 别丢，等比求和不适用 $q=1$ 的情形要先说明（本题 $q>1$ 无需）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列基本量题是解答题第一题常客，与 2014-新课标II卷理-17（等比数列定义与通项公式）、2014-江苏卷-07（等比数列通项）同族。

结论推广：推广：若条件换成 $p{a}_1+q{a}_3=r$，同样化成 $a_1+q=$ 定值再解二次方程；双解是否都有效要看 $q>0$（本题 $2,3$ 均正，皆有效）。

方法推广：等比数列解答题：设 $a_1,q$，把每个条件翻译成方程，解出后逐组写通项与求和；出双解是等比数列的常态，务必检查判别式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-17 解-等比数列定义与通项公式
• 2014-江苏卷-07 填-等比数列通项