2014-江苏卷-15 解-同角三角函数

本题导读

本题考查三角函数的给值求值问题。第一问考查同角基本关系及和角公式；第二问通过倍角公式与差角公式求出复杂表达式的精确值。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 已知 $\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$，$\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$.

(1) 求 $\sin (\frac{\pi }{4}+\alpha )$ 的值；

(2) 求 $\cos (\frac{5\pi }{6}-2\alpha )$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 基础计算：已知 $\alpha$ 的范围在第二象限，由 $\sin \alpha$ 求出 $\cos \alpha$（注意符号）。
2. 第一问逻辑：展开两角和的正弦公式 $\sin (A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B$，代值求解。
3. 第二问逻辑：
   • 首先利用二倍角公式求出 $\sin 2\alpha$ 和 $\cos 2\alpha$。
   • 展开两角差的余弦公式 $\cos (A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B$，代值求解。

✅【答案】

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$\cos (\frac{5\pi }{6}-2\alpha )=-\frac{3\sqrt{3}}{10}-\frac{4}{10}=-\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha \in (\frac{\pi }{2},\pi )$，所以 $\cos \alpha <0$。 由 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$ 得： $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-(\frac{\sqrt{5}}{5}{)}^2}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

(1) 求 $\sin (\frac{\pi }{4}+\alpha )$ 的值 根据两角和的正弦公式： $\sin (\frac{\pi }{4}+\alpha )=\sin \frac{\pi }{4}\cos \alpha +\cos \frac{\pi }{4}\sin \alpha$ 代入已知数值： $\sin (\frac{\pi }{4}+\alpha )=\frac{\sqrt{2}}{2}\times (-\frac{2\sqrt{5}}{5})+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{5}}{5}$ $\sin (\frac{\pi }{4}+\alpha )=-\frac{2\sqrt{10}}{10}+\frac{\sqrt{10}}{10}=-\frac{\sqrt{10}}{10}$

(2) 求 $\cos (\frac{5\pi }{6}-2\alpha )$ 的值 首先计算 $2\alpha$ 的正弦和余弦值： $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\times \frac{\sqrt{5}}{5}\times (-\frac{2\sqrt{5}}{5})=-\frac{4}{5}$ $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =1-2\times \frac{5}{25}=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$ 根据两角差的余弦公式： $\cos (\frac{5\pi }{6}-2\alpha )=\cos \frac{5\pi }{6}\cos 2\alpha +\sin \frac{5\pi }{6}\sin 2\alpha$ 代入相关数值： $\cos (\frac{5\pi }{6}-2\alpha )=(-\frac{\sqrt{3}}{2})\times \frac{3}{5}+\frac{1}{2}\times (-\frac{4}{5})$ $\cos (\frac{5\pi }{6}-2\alpha )=-\frac{3\sqrt{3}}{10}-\frac{4}{10}=-\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换公式的灵活应用。

2. 核心方法：公式法。注意在变换过程中先求出必要的辅助量（如 $\cos \alpha$、$\sin 2\alpha$）。

3. 避坑指南：开方求 $\cos \alpha$ 时必须根据角 $\alpha$ 所在的象限确定正负号；二倍角计算中 $\cos 2\alpha$ 使用 $1-2{\sin }^2\alpha$ 可以减少对第一步 $\cos \alpha$ 准确性的依赖。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正切的和差公式、诱导公式、辅助角公式。

2. 结论推广: 两角和差公式是三角变换的基石，所有的倍角、半角公式均由此推导而来。

3. 方法推广: 在处理给值求值问题时，若待求角与已知角有明显的倍数或和差关系，优先考虑恒等变形。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-06 单-同角三角函数
• 2013-大纲卷理-13 填-同角三角函数
• 2013-大纲卷文-02 单-同角三角函数