2011-四川卷文-18 解-三角化简与证明

本题导读

本题考查诱导公式，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2011年四川卷(文)） 已知函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{7\pi }{4}\right)+\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)$，$x\in \mathbf{R}$.

(1)求 $f(x)$ 的最小正周期和最小值；

(2)已知 $\cos (\beta -\alpha )=\frac{4}{5}$，$\cos (\beta +\alpha )=-\frac{4}{5}$，$0<\alpha <\beta \le \frac{\pi }{2}$，求证：$[f(\beta ){]}^2-2=0$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）化简得 $f(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$
2. 步骤2：读周期与最小值
3. 步骤3：（2）由和差化积条件解出 $\beta =\frac{\pi }{2}$ 后代入

✅【答案】

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(1) 最小正周期为 $2\pi$，最小值为 $-2$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）由诱导公式，$\frac{7\pi }{4}=2\pi -\frac{\pi }{4}$，故 $\sin \left(x+\frac{7\pi }{4}\right)=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$； 又 $\cos \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=\cos \left[\left(x-\frac{\pi }{4}\right)-\frac{\pi }{2}\right]=\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ （因 $\cos \left(t-\frac{\pi }{2}\right)=\sin t$）。故 $f(x)=2\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$。 所以最小正周期 $T=2\pi$，最小值为 $-2$。 （2）两式相加：$\cos (\beta -\alpha )+\cos (\beta +\alpha )=\frac{4}{5}-\frac{4}{5}=0$。 由 $\cos (\beta -\alpha )+\cos (\beta +\alpha )=2\cos \beta \cos \alpha$，得 $\cos \alpha \cos \beta =0$。 因为 $0<\alpha <\beta \le \frac{\pi }{2}$，若 $\cos \alpha =0$ 则 $\alpha =\frac{\pi }{2}$，与 $\alpha <\beta \le \frac{\pi }{2}$ 矛盾； 故 $\cos \beta =0$，结合 $0<\beta \le \frac{\pi }{2}$ 得 $\beta =\frac{\pi }{2}$。 于是 $f(\beta )=2\sin \left(\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{4}\right)=2\sin \frac{\pi }{4}=\sqrt{2}$， 故 $[f(\beta ){]}^2-2=2-2=0$，命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式（$\cos (t-\frac{\pi }{2})=\sin t$、$\cos$ 的奇偶对称）；和差化积 $\cos (\beta -\alpha )+\cos (\beta +\alpha )=2\cos \beta \cos \alpha$。

核心方法：两条已知余弦式「相加消 $\alpha$」定 $\beta$ → 代入化简后的 $f$ 验证结论。

避坑指南：化简 $f$ 时 $\frac{7\pi }{4}$ 与 $-\frac{\pi }{4}$ 终边相同、$\frac{3\pi }{4}$ 的处理要先写 $\cos (t-\frac{\pi }{2})=\sin t$ 的换元，跳步易错；相加后 $\cos \alpha =0$ 与 $\cos \beta =0$ 的取舍必须用 $0<\alpha <\beta \le \frac{\pi }{2}$ 排除 $\alpha$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：「化简求周期 + 和差式联立证明」的三角解答题，2011 重庆卷文 18、2012 北京卷文 15 与本题同属恒等变换主线。

结论推广：若把两式相减，得 $2\sin \beta \sin \alpha =\frac{8}{5}$，即 $\sin \alpha \sin \beta =\frac{4}{5}$，与 $\cos \alpha \cos \beta =0$ 对照可顺带求出 $\alpha$：$\beta =\frac{\pi }{2}$ 时 $\sin \beta =1$，$\sin \alpha =\frac{4}{5}$，与 $\cos (\beta -\alpha )=\sin \alpha =\frac{4}{5}$ 一致，两条方程互相印证。

方法推广：三角证明题拿到两组同名三角式，先想「加与减」：和给出积式、差给出另一积式，常常直接锁定某个角；化简目标函数放在最前面完成，证明时只做代入。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-15 解-同角三角函数
• 2011-重庆卷文-18 解-三角化简平移最值
• 2012-北京卷文-15 解-三角化简周期与单调