2014-江苏卷-21A 解-几何证明选讲

本题导读

本题考查圆的基本性质，主要涉及等腰三角形的性质（等边对等角）以及圆周角定理（同弧所对的圆周角相等）。属于基础证明题，侧重考察逻辑推理的严密性。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 如图，$AB$ 是圆 $O$ 的直径，$C,D$ 是圆 $O$ 上位于 $AB$ 异侧的两点，证明：$\angle OCB=\angle D$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析目标角 $\angle OCB$：在 $△OCB$ 中，$OC$ 和 $OB$ 均为圆的半径，由此可确定该三角形的形状，并得到底角关系。
2. 分析目标角 $\angle D$：观察 $\angle D$ 所对的弧，寻找圆上其他对同一条弧的圆周角。
3. 建立联系：通过中间角（如 $\angle B$）将 $\angle OCB$ 与 $\angle D$ 联系起来，实现等量代换。

✅【答案】

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所以 $OC=OB$

✍【详细解析】

Abstract

证明： 因为 $OC$ 和 $OB$ 均为圆 $O$ 的半径， 所以 $OC=OB$。 在 $△OCB$ 中，根据等边对等角，得： $\angle OCB=\angle OBC\text{（或写为 }\angle OCB=\angle B\text{）}$ 又因为 $\angle B$ 与 $\angle D$ 都是弧 $AC$ 所对的圆周角， 根据圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），得： $\angle OBC=\angle D$ 由等量代换可得： $\angle OCB=\angle D$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同圆中半径相等构造等腰三角形；同弧所对圆周角相等。

2. 核心方法：找“中间桥梁”角。本题中 $\angle B$ 即为连接半径关系与圆周角关系的桥梁。

3. 避坑指南：虽然题目简单，但书写证明过程时应写明理由（如“同弧所对圆周角相等”），确保逻辑链条完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 若连接 $AC,BC$，则 $\angle ACB=90^{\circ }$（直径所对的圆周角是直角）。

2. 结论推广: 同圆半径相等构造等腰三角形，同弧所对圆周角相等。

3. 方法推广: 在处理圆的证明题时，连接半径构造等腰三角形是极其常用的辅助手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-22 解-几何证明选讲
• 2015-新课标I卷文-22 解-几何证明选讲
• 2014-辽宁卷文-22 解-几何证明选讲