2014-江西卷文-01 单-复数模

本题导读

解出 $z$ 再求模；也可直接用模的运算性质一步到位。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 若复数 $z$ 满足 $z(1+\mathrm{i})=2\mathrm{i}$（$\mathrm{i}$ 为虚数单位），则 $|z|=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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先化 $z$ 为 $a+b\mathrm{i}$ 的标准形式，再求模。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $z(1+\mathrm{i})=2\mathrm{i}$ 得 $z=\frac{2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{2\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{2\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2}{2}=\frac{2+2\mathrm{i}}{2}=1+\mathrm{i}$，故 $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 （另解：由模的运算性质直接得 $|z|=\frac{|2\mathrm{i}|}{|1+\mathrm{i}|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的除法与模

2. 核心方法：分母实数化或模的运算性质

3. 避坑指南：用 $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$ 可省去化简；若化为 $a+b\mathrm{i}$ 再求模，注意 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$，别把 $|z{|}^2$ 当成 $|z|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 复数代数形式的基本运算与模。

2. 结论推广: 对复数 $z_1$，$z_2$（分母不为零）有 $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$，$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$。

3. 方法推广: 模的运算性质可避免繁琐的分母实数化，是复数计算中优先考虑的化简方向。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数
• 2014-新课标II卷理-02 单-复平面与对应点