2011-江西卷文-01 单-复数四则运算

本题导读

本题考查复数的乘法运算，以及复数相等的充要条件。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 若 $(x-\mathrm{i})\mathrm{i}=y+2\mathrm{i}$（$x$，$y\in \mathbf{R}$），则复数 $x+y\mathrm{i}=$ ()

A. $-2+\mathrm{i}$　　　　　　B. $2+\mathrm{i}$　　　　　　C. $1-2\mathrm{i}$　　　　　　D. $1+2\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：展开 $(x-\mathrm{i})\mathrm{i}$
2. 步骤2：由实虚部分别相等解 $x$
3. 步骤3：$y$

✅【答案】

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B$2+\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

$(x-\mathrm{i})\mathrm{i}=x\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2=1+x\mathrm{i}$。

由复数相等的充要条件（实部等于实部、虚部等于虚部）：$y=1$，$x=2$。

故 $x+y\mathrm{i}=2+\mathrm{i}$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数代数形式的乘法；${\mathrm{i}}^2=-1$；复数相等的充要条件

核心方法：先乘开化成 $a+b\mathrm{i}$ 标准形，再按”实对实、虚对虚”列方程组

避坑指南：$-\mathrm{i}\times \mathrm{i}=-{\mathrm{i}}^2=1$ 是实部——别把 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的符号弄反；$x$，$y$ 都是实数这一条件是”复数相等”能用的前提，虚数不能比大小更不能直接相等。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数乘法与相等题与 2014-江西卷文-01、2012-江西卷文-01、2014-安徽卷文-01 同族。

结论推广：推广：$(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})$ 的实部 $ac-bd$、虚部 $ad+bc$；形如”$z\cdot \mathrm{i}=$ 已知”的题，乘开后实虚部分离即可，$\mathrm{i}$ 的幂按周期 $4$ 归类。

方法推广：复数小题：先化为标准形 $a+b\mathrm{i}$，再谈相等、模或共轭；每步核对 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的符号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷文-01 单-复数模
• 2012-江西卷文-01 单-共轭复数与复数运算
• 2014-安徽卷文-01 单-复数运算