2014-江西卷文-08 单-程序框图

本题导读

每轮累加 $S=S+\lg \frac{i}{i+2}$ 后判断 $S<-1$；用相消求和式 $\lg \frac{1}{2k+1}$ 可避免逐项估值。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()

A. $7$　　　　　　　B. $9$　　　　　　　C. $10$　　　　　　　D. $11$

🔍【思路分析】

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第 $k$ 轮累加后 $S=\lg \frac{1}{2k+1}$，令 $\lg \frac{1}{2k+1}<-1$ 找出 $k$，再回看此时 $i$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

每次循环执行 $S=S+\lg \frac{i}{i+2}$ 后判断 $S<-1$：成立则输出当前的 $i$，否则令 $i=i+2$ 继续。逐轮计算： 第 $1$ 轮（$i=1$）：$S=\lg \frac{1}{3}\approx -0.477>-1$，继续； 第 $2$ 轮（$i=3$）：$S=\lg \frac{1}{3}+\lg \frac{3}{5}=\lg \frac{1}{5}\approx -0.699>-1$，继续； 第 $3$ 轮（$i=5$）：$S=\lg \frac{1}{7}\approx -0.845>-1$，继续； 第 $4$ 轮（$i=7$）：$S=\lg \frac{1}{9}\approx -0.954>-1$，继续； 第 $5$ 轮（$i=9$）：$S=\lg \frac{1}{9}+\lg \frac{9}{11}=\lg \frac{1}{11}\approx -1.041<-1$，条件成立，输出 $i=9$。 故输出结果为 $9$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：循环结构的程序框图与对数运算

2. 核心方法：模拟运行 + 对数相消

3. 避坑指南：输出的是「判断成立时」当前的 $i$，$i$ 只在「否」分支中加 $2$；若误以为先自增再判断，会错选 $11$。必须按箭头顺序逐轮模拟。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 循环结构与对数运算交汇的框图题。

2. 结论推广: $\lg \frac{1}{3}+\lg \frac{3}{5}+\cdots +\lg \frac{2k-1}{2k+1}=\lg \frac{1}{2k+1}$（相邻项相消）。

3. 方法推广: 框图题的通法是「列表模拟」：把每轮循环后各变量的取值列出来，再检查退出条件。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-07 单-程序框图
• 2014-新课标I卷理-07 单-程序框图