2014-新课标I卷理-07 单-程序框图

本题导读

本题考查带有循环结构的程序框图。解题核心在于严格按照框图设定的逻辑顺序进行模拟运行，特别注意变量 $a,b$ 的更新顺序以及循环终止的临界条件。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 执行如图的程序框图，若输入的 $a,b,k$ 分别为 $1,2,3$，则输出的 $M=$ ()

A. $\frac{20}{3}$　　　　　　B. $\frac{7}{2}$　　　　　　C. $\frac{16}{5}$　　　　　　D. $\frac{15}{8}$

🔍【思路分析】

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1. 初始化变量：$a=1,b=2,k=3,n=1$。
2. 执行循环判断：判断 $n\le k$ 是否成立。
   • 若成立：进入循环体，依次更新 $M,a,b,n$ 的值。
   • 若不成立：跳出循环，输出 $M$。
3. 逐步跟踪：列表或记录每一次循环后各变量的状态。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

输入阶段：$a=1,b=2,k=3,n=1$。

第一轮循环 ($n=1\le 3$ 为“是”)：

• $M=a+\frac{1}{b}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
• $a=b=2$
• $b=M=\frac{3}{2}$
• $n=n+1=2$

第二轮循环 ($n=2\le 3$ 为“是”)：

• $M=a+\frac{1}{b}=2+\frac{1}{3/2}=2+\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$
• $a=b=\frac{3}{2}$
• $b=M=\frac{8}{3}$
• $n=n+1=3$

第三轮循环 ($n=3\le 3$ 为“是”)：

• $M=a+\frac{1}{b}=\frac{3}{2}+\frac{1}{8/3}=\frac{3}{2}+\frac{3}{8}=\frac{12+3}{8}=\frac{15}{8}$
• $a=b=\frac{8}{3}$
• $b=M=\frac{15}{8}$
• $n=n+1=4$

判断阶段 ($n=4\le 3$ 为“否”)： 跳出循环，输出 $M=\frac{15}{8}$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：循环结构的逻辑执行。

2. 核心方法：模拟运行。对于这类题目，耐心地写出每一步变量的变化是得分的关键。

3. 避坑指南：赋值语句 $a=b,b=M$ 有先后顺序，意味着 $a$ 取的是 $b$ 更新前的值，这一点极易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 条件结构、直到型与当型循环的区别、算法的收敛性。

2. 结论推广: 该算法本质上是在计算连分数的一种变形。

3. 方法推广: 面对复杂的程序框图，在草稿纸上建立轮次跟踪表（逐轮记录 $n,a,b,M$）是防止算错的有效手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2015-陕西卷文-07 单-程序框图
• 2015-福建卷文-04 单-程序框图
• 2015-湖南卷文-05 单-程序框图