2014-江西卷文-16 解-三角函数

本题导读

(1) 由奇函数得 $f(x)+f(-x)=0$ 恒成立，用和差角公式逼出 $\cos \theta =0$；(2) 化简得 $f(x)=-\frac{1}{2}\sin 4x$，代入求 $\sin \alpha$，再由象限定 $\cos \alpha$。

📌【题干】

Question

（2014年江西卷(文)） 已知函数 $f(x)=(a+2{\cos }^{2}x)\cos (2x+\theta )$ 为奇函数，且 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=0$，其中 $a\in \mathbf{R}$，$\theta \in (0,\pi )$.

(1) 求 $a$，$\theta$ 的值；

(2) 若 $f\left(\frac{\alpha }{4}\right)=-\frac{2}{5}$，$\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，求 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) 关键是把 $f(x)+f(-x)$ 写成 $2(a+2{\cos }^{2}x)\cos \theta \cos 2x$；(2) 先化简出 $f(x)=-\frac{1}{2}\sin 4x$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a=-1$，$\theta =\frac{\pi }{2}$；(2) $\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $f(x)$ 为奇函数，对任意 $x$ 都有 $f(x)+f(-x)=0$。 而 $f(x)+f(-x)=(a+2{\cos }^{2}x)\left[\cos (2x+\theta )+\cos (2x-\theta )\right]=2(a+2{\cos }^{2}x)\cos \theta \cos 2x$。 因为 $(a+2{\cos }^{2}x)\cos 2x$ 不恒为 $0$，所以 $\cos \theta =0$。又 $\theta \in (0,\pi )$，故 $\theta =\frac{\pi }{2}$。 此时 $f(x)=(a+2{\cos }^{2}x)\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-(a+2{\cos }^{2}x)\sin 2x$，由 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=0$ 得 $-\left(a+2{\cos }^2\frac{\pi }{4}\right)\sin \frac{\pi }{2}=-(a+1)=0$，所以 $a=-1$。 (2) 由 (1) 得 $f(x)=(-1+2{\cos }^{2}x)\left(-\sin 2x\right)=\cos 2x\cdot (-\sin 2x)=-\frac{1}{2}\sin 4x$。 由 $f\left(\frac{\alpha }{4}\right)=-\frac{1}{2}\sin \alpha =-\frac{2}{5}$ 得 $\sin \alpha =\frac{4}{5}$。 因为 $\alpha \in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$，所以 $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\frac{3}{5}$。 因此 $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\sin \alpha \cos \frac{\pi }{3}+\cos \alpha \sin \frac{\pi }{3}=\frac{4}{5}\times \frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{5}\right)\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4-3\sqrt{3}}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换与函数的奇偶性

2. 核心方法：由 $f(x)+f(-x)=0$ 恒成立求参

3. 避坑指南：先用「$f(x)+f(-x)=0$ 对任意 $x$ 恒成立」逼出 $\cos \theta =0$，再用 $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=0$ 求 $a$；求值时要先由 $\sin \alpha$ 及 $\alpha$ 所在象限确定 $\cos \alpha$ 的符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三角函数式的恒等变形与求值。

2. 结论推广: $\cos (2x+\theta )+\cos (2x-\theta )=2\cos \theta \cos 2x$；$2{\cos }^{2}x-1=\cos 2x$。

3. 方法推广: 求 $\sin (\alpha +\phi )$ 型的问题，先算出 $\sin \alpha$、$\cos \alpha$，再用两角和的正弦公式，符号由象限决定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-17 解-两角和差公式
• 2014-新课标I卷理-06 单-三角函数的图象