2014-浙江卷文-05 单-圆弦长

本题导读

圆心 $(-1,1)$，弦心距 $\sqrt{2}$，由 $r^2=d^2+2^2$ 得 $r^2=6$，$2-a=6$，$a=-4$，选 B。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 已知圆 $x^2+y^2+2x-2y+a=0$ 截直线 $x+y+2=0$ 所得弦的长度为 4，则实数 $a$ 的值为()

A. $-2$　　　　　　　B. $-4$　　　　　　　C. $-6$　　　　　　　D. $-8$

🔍【思路分析】

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圆心 $(-1,1)$，弦心距 $\sqrt{2}$，由 $r^2=d^2+2^2$ 得 $r^2=6$，$2-a=6$，$a=-4$，选 B。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

配方：$(x+1{)}^2+(y-1{)}^2=2-a$，圆心 $(-1,1)$，$r^2=2-a$（需 $2-a>0$）。

圆心到直线 $x+y+2=0$ 的距离

$d=\frac{|-1+1+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

由半弦长、弦心距、半径的勾股关系：${\left(\frac{4}{2}\right)}^2+d^2=r^2$，即 $4+2=2-a$。

解得 $a=-4$（此时 $r^2=6>0$ 合法），选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆相交的弦长问题

2. 核心方法：${\left(\frac{l}{2}\right)}^2+d^2=r^2$ 勾股桥

3. 避坑指南：圆的一般方程配方后 $r^2=2-a$，别把常数项当成 $r^2$ 本身；求出 $a$ 后要回代检验 $r^2>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 直线与圆弦长入口题，与 2014 年新课标Ⅱ理 16（弦长与位置关系）同章。

2. 结论推广: 一般地，圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 中 $r^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F$；弦长问题统一走”半径、弦心距、半弦长”直角三角形。

3. 方法推广: 圆的问题先配方定圆心与半径，再按”圆心到直线的距离”搭勾股桥，全程无需求交点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线
• 2014-新课标II卷理-16 填-直线与圆