2014-浙江卷文-16 填-均值不等式最值

本题导读

$b+c=-a$，$b^2+c^2=1-a^2$，由 $(b+c{)}^2\le 2(b^2+c^2)$ 得 $a^2\le \frac{2}{3}$，$a\le \frac{\sqrt{6}}{3}$。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(文)） 已知实数 $a$，$b$，$c$ 满足 $a+b+c=0$，$a^2+b^2+c^2=1$，则 $a$ 的最大值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$b+c=-a$，$b^2+c^2=1-a^2$，由 $(b+c{)}^2\le 2(b^2+c^2)$ 得 $a^2\le \frac{2}{3}$，$a\le \frac{\sqrt{6}}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a+b+c=0$ 得 $b+c=-a$；由 $a^2+b^2+c^2=1$ 得 $b^2+c^2=1-a^2$。

由均值不等式：$(b+c{)}^2\le 2(b^2+c^2)$（即 $2bc\le b^2+c^2$ 的移项形式），代入

$a^2\le 2(1-a^2)$，即 $3a^2\le 2$，$-\frac{\sqrt{6}}{3}\le a\le \frac{\sqrt{6}}{3}$。

当 $b=c=-\frac{a}{2}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$ 时等号成立（验证：$b+c=-\frac{\sqrt{6}}{3}=-a$ ✓，$2\times \frac{6}{36}=\frac{1}{3}=1-a^2=1-\frac{2}{3}$ ✓）。

所以 $a$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：带约束的二次最值；均值不等式取等条件

2. 核心方法：“固定一个、放缩两个”：$(x+y{)}^2\le 2(x^2+y^2)$

3. 避坑指南：最大值必须配取等验证：$b=c=-\frac{\sqrt{6}}{6}$；若题目改问 $a$ 的取值范围，对称地还有下界 $-\frac{\sqrt{6}}{3}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三元对称约束下求单变量最值（2014 浙江理 17 同族），均值（柯西）不等式的标准应用。

2. 结论推广: 一般地，$b+c=s$、$b^2+c^2=q$ 时 $s^2\le 2q$ 给出主变量的范围；这也是判别式法的向量/不等式版本。

3. 方法推广: 约束消元不必解出 $b,c$：把”和”与”平方和”各用一次，中间架均值不等式，最后验证取等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-浙江卷理-17 填-仰角
• 2014-新课标I卷理-16 填-正弦定理