2014-湖北卷文-09 单-函数零点

本题导读

$x⩾0$ 与 $x<0$ 两段分别解 $g(x)=0$。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x⩾0$ 时，$f(x)=x^2-3x$.则函数 $g(x)=f(x)-x+3$ 的零点的集合为()

A. $\{1,3\}$　　　　B. $\{-3,-1,1,3\}$　　　　C. $\{2-\sqrt{7},1,3\}$　　　　D. $\{-2-\sqrt{7},1,3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

$x⩾0$：$x^2-4x+3=0$；$x<0$：$-x^2-4x+3=0$，取负根。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

当 $x⩾0$ 时，$g(x)=x^2-3x-x+3=x^2-4x+3$，令 $g(x)=0$ 得 $x=1$ 或 $x=3$。当 $x<0$ 时，$f(x)=-f(-x)=-(x^2+3x)$，故 $g(x)=-x^2-3x-x+3=-x^2-4x+3$，令 $g(x)=0$ 得 $x=-2\pm \sqrt{7}$；因 $x<0$，舍去 $-2+\sqrt{7}>0$，取 $x=-2-\sqrt{7}$。综上零点集合为 $\{-2-\sqrt{7},1,3\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数性质与零点

2. 核心方法：对称区间分别求解

3. 避坑指南：$x<0$ 时先由奇函数把 $f(x)$ 转成 $-(x^2+3x)$ 再列方程；一元二次方程在限定区间上取根时必须验根，$-2+\sqrt{7}>0$ 要舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 分段（奇函数）与一次项组合后的零点问题。

2. 结论推广: 奇函数在对称区间上 $f(x)=-f(-x)$；本题 $x<0$ 时 $f(x)=-(x^2+3x)$。

3. 方法推广: 含参分段函数零点个数问题可用图象法：先画已知支，再按对称性补全，最后平移直线求交点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-10 单-函数奇偶性
• 2014-安徽卷理-09 单-函数最值