2014-湖北卷理-10 单-函数奇偶性

本题导读

本题是理科选择题的压轴题，综合考查了奇函数的图象对称性、绝对值分段函数的作图以及函数图象平移带来的不等式恒成立问题。要求学生具备极强的空间想象能力和数形结合思维。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，当 $x\ge 0$ 时，$f(x)=\frac{1}{2}(|x-a^2|+|x-2a^2|-3a^2)$.若对任意 $x\in \mathbb{R}$，$f(x-1)\le f(x)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为()

A. $[-\frac{1}{6},\frac{1}{6}]$　　B. $[-\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}]$　　C. $[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}]$　　D. $[-\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{\sqrt{3}}{3}]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 去绝对值化简 $f(x)$：针对 $x\ge 0$，根据 $a^2$ 和 $2a^2$ 两个关键点对 $x$ 进行分类讨论，得到分段函数解析式。
2. 利用奇偶性作图：根据 $x\ge 0$ 的图象，利用奇函数关于原点对称的性质，画出 $f(x)$ 在全域 $\mathbb{R}$ 上的图象。
3. 理解平移含义：$f(x-1)\le f(x)$ 意味着将 $f(x)$ 的图象向右平移 1 个单位后，所得新图象恒在原图象的下方（或重合）。
4. 寻找临界条件：观察图象的单调性。在单调递增区间，平移可知满足条件；但在单调递减区间，必须保证平移后的波峰不会超过原图象。关键在于控制图象下降段的跨度与平移距离 1 之间的关系。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简 $x\ge 0$ 时的 $f(x)$ 由题意，讨论 $x\ge 0$（可知 $a^2\ge 0$）：

• 当 $0\le x<a^2$ 时，$f(x)=\frac{1}{2}(a^2-x+2a^2-x-3a^2)=-x$；
• 当 $a^2\le x<2a^2$ 时，$f(x)=\frac{1}{2}(x-a^2+2a^2-x-3a^2)=-a^2$；
• 当 $x\ge 2a^2$ 时，$f(x)=\frac{1}{2}(x-a^2+x-2a^2-3a^2)=x-3a^2$。

第二步：结合奇偶性分析图象特征 $f(x)$ 在 $[0,a^2)$ 递减，$[a^2,2a^2)$ 常数，$[2a^2,+\infty )$ 递增。 由于 $f(x)$ 是奇函数，图象关于原点中心对称。 观察图象可知，函数在 $(-\infty ,-2a^2]$ 递增，在 $[-2a^2,-a^2]$ 常数，在 $[-a^2,a^2]$ 递减，在 $[a^2,2a^2]$ 常数，在 $[2a^2,+\infty )$ 递增。

第三步：利用平移条件建立不等式 $f(x-1)\le f(x)$ 恒成立，即 $f(x)$ 的图象向右平移 1 个单位后整体高度不增加。 在函数递减的区间（如 $[-a^2,a^2]$），若向右移动，点的高度会下降，天然满足； 但在函数递增区间向右移，高度会上升，可能违背条件。 唯一的“风险点”在于图象从谷底跳回到峰顶的过程。 具体而言，必须满足左侧最高点的横坐标平移 1 位后，仍处于右侧最低点（或之后）的下降趋势中。 观察图象：最高点出现在 $x\in [-2a^2,-a^2]$，值为 $f(-2a^2)=-f(2a^2)=-(2a^2-3a^2)=a^2$。 最低点出现在 $x\in [a^2,2a^2]$，值为 $-a^2$。 要使 $f(x-1)\le f(x)$ 恒成立，关键是保证从左侧波峰平移 1 个单位后，其值不能超过右侧对应位置的值。 最严苛的限制发生在：左侧递增段的终点 $-2a^2$ 平移 1 个单位后，对应的 $f(-2a^2+1)$ 必须小于等于该处的 $f$ 值。 结合图象的对称性和跨度，实际上是要求两个波峰/波谷之间的“低谷宽度”足够大，使得平移 1 个单位无法实现跨越。 临界情况是：从 $x=a^2$（右侧平台起点）向左回看 1 个单位，该处的值 $f(a^2-1)$ 必须大于等于 $f(a^2)$。 代入计算：右侧最低值为 $-a^2$，左侧最高值为 $a^2$。 考虑图象：$x\ge 2a^2$ 时 $f(x)=x-3a^2$，其关于原点对称部分在 $x\le -2a^2$ 时为 $f(x)=x+3a^2$。 设置 $x=-2a^2$，则 $f(-2a^2)=a^2$。平移后点为 $(-2a^2+1,a^2)$。 此点必须落在 $f(x)$ 对应位置的下方。观察图象下降段 $x\in [-a^2,a^2]$，此处 $f(x)=-x$。 故需满足：$a^2\le f(-2a^2+1)$。 由于 $-2a^2+1$ 必须落在下降段或之后的区域，最简便的判定是： 让右侧递增段的起点 $2a^2$ 减去 1 个单位后的值，仍处于波峰或下降段。 即：$f(2a^2-1)\ge f(2a^2)=-a^2$。 由图象知，两侧递增段 $f(x)=x+3a^2$（$x\le -2a^2$）与 $f(x)=x-3a^2$（$x\ge 2a^2$）平行，斜率均为 1。 最严苛的情形：$x$ 落在右侧平台 $[a^2,2a^2]$（此处 $f(x)=-a^2$ 为全局最小值），而 $x-1$ 落在左侧递增段（$x-1\le -2a^2$，此时 $f(x-1)=(x-1)+3a^2=x+3a^2-1$）。 此时 $f(x-1)\le f(x)⟺x+3a^2-1\le -a^2⟺x\le 1-4a^2$。 要对整个平台 $x\in [a^2,2a^2]$ 恒成立，需右端点满足 $2a^2\le 1-4a^2$，即 $6a^2\le 1⟹a^2\le \frac{1}{6}$。 （等价地：当 $2a^2\le x\le 1-2a^2$ 时两点分居两侧递增段，$f(x-1)-f(x)=6a^2-1$，同样要求 $6a^2\le 1$。） 故 $a\in [-\frac{\sqrt{6}}{6},\frac{\sqrt{6}}{6}]$。

故选 B


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数的图象对称性与绝对值分段函数的平移

2. 核心方法：去绝对值分段化简，由奇对称作图，利用 $f(x-1)\le f(x)$ 建立 $6a^2\le 1$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 奇函数图象关于原点对称与恒成立

2. 结论推广: 由 $f(x-1)\le f(x)$ 恒成立得 $a^2\le \frac{1}{6}$。

3. 方法推广: 可迁移到分段函数与图象平移的恒成立问题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-05 填-函数奇偶性
• 2015-福建卷文-03 单-函数奇偶性
• 2015-广东卷文-03 单-函数奇偶性