2014-湖北卷文-12 填-向量模

本题导读

$\overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{OA}$ 垂直且等长，求 $|\overrightarrow{AB}|$。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 若向量 $\overrightarrow{OA}=(1,-3)$，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，则 $|\overrightarrow{AB}|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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由 $|\overrightarrow{AB}{|}^2=|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{OB}{|}^2$ 得 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}|\overrightarrow{OA}|$。

✅【答案】

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$2\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

$|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$。由 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 及 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$，得 $|\overrightarrow{AB}{|}^2=|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}{|}^2=|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{OB}{|}^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=10+10=20$，故 $|\overrightarrow{AB}|=2\sqrt{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直与模

2. 核心方法：垂直条件 + 等模长定坐标

3. 避坑指南：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 且模相等，说明 $\overrightarrow{OB}$ 是 $\overrightarrow{OA}$ 旋转 $\pm 90°$ 的结果，可用 $(3,1)$ 与 $(-3,-1)$ 两种情况，但 $|\overrightarrow{AB}|$ 与方向无关。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量数量积与模长计算。

2. 结论推广: $|\overrightarrow{AB}{|}^2=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{|}^2=|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{OB}{|}^2-2\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$。

3. 方法推广: 垂直 + 等模长 ⟺ 两向量互相旋转 $90°$，模的合成直接用勾股关系 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{2}|\overrightarrow{OA}|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-11 填-向量加减法
• 2014-新课标I卷理-15 填-向量的加法与数乘