2014-湖北卷文-15 填-分段图象

本题导读

把 $f(x-1)$ 看成 $f(x)$ 右移 $1$ 单位，比较两图象；$F(x)=f(x)-f(x-1)$ 的最小值只出现在折点附近。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 如图所示，函数 $y=f(x)$ 的图象由两条射线和三条线段组成.若 $\forall x\in \mathbf{R}$，$f(x)>f(x-1)$，则正实数 $a$ 的取值范围为$\underline{}$.


🔍【思路分析】

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由图写出五段表达式，检验 $F(x)=f(x)-f(x-1)$ 在各临界点处的符号。

✅【答案】

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$(0,\frac{1}{6})$

✍【详细解析】

Abstract

由图象（峰点 $(-a,a)$、谷点 $(a,-a)$、射线斜率 $\frac{1}{2}$）得五段表达式：$x⩽-2a$ 时 $f(x)=\frac{x}{2}+a$；$-2a⩽x⩽-a$ 时 $f(x)=x+2a$；$-a⩽x⩽a$ 时 $f(x)=-x$；$a⩽x⩽2a$ 时 $f(x)=x-2a$；$x⩾2a$ 时 $f(x)=\frac{x}{2}-a$。 $F(x)=f(x)-f(x-1)$ 分段线性，只需在各临界点 $x\in \{-2a,-a,a,2a,1-2a,1-a,1+a,1+2a\}$ 处检验。 $x=2a$（最紧）：$f(2a)=0$；当 $a<\frac{1}{4}$ 时 $2a-1⩽-2a$，$f(2a-1)=\frac{2a-1}{2}+a=\frac{6a-1}{2}$，$F(2a)=\frac{1-6a}{2}>0⟺a<\frac{1}{6}$（当 $a⩾\frac{1}{4}$ 时 $2a-1$ 进入中部折线区，$f(2a-1)$ 更大，必然违反）。 其余临界点：$F(-2a)=\frac{1}{2}$，$F(-a)=\frac{1+a}{2}$，$F(a)=\frac{1-5a}{2}>0⟺a<\frac{1}{5}$，$F(1+a)=\frac{1+a}{2}$，$F(1+2a)=\frac{1}{2}$，$F(1-2a)=1$，$F(1-a)=1-4a>0⟺a<\frac{1}{4}$，均不紧于 $a<\frac{1}{6}$。 综上 $0<a<\frac{1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段线性函数的图象平移比较

2. 核心方法：右移 $1$ 单位后逐临界点比较

3. 避坑指南：$F(x)=f(x)-f(x-1)$ 仍是分段线性函数，最小值只可能在「折点」与「折点 $+1$」处取得；最紧的约束在 $x=2a$：$f(2a-1)=\frac{6a-1}{2}$，由 $F(2a)>0$ 得 $a<\frac{1}{6}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 图象平移与不等式恒成立的数形结合名题。

2. 结论推广: 图象五段：左射线 $y=\frac{x}{2}+a$，三段线段依次连接 $(-2a,0)\to (-a,a)\to (a,-a)\to (2a,0)$，右射线 $y=\frac{x}{2}-a$。

3. 方法推广: 「$f(x)>f(x+c)$ 恒成立」对分段线性函数，只需检验 $F(x)$ 在全部临界点处的符号；这一方法对任意折线函数都适用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-10 单-函数奇偶性
• 2014-山东卷理-15 填-新定义函数