2014-湖北卷理-06 单-定积分运算

本题导读

本题属于新定义型试题，考查“正交函数”的概念。核心在于利用微积分基本定理进行定积分计算，并结合函数奇偶性简化运算。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 若函数 $f(x),g(x)$ 满足 ${\int }_{-1}^{1}f(x)g(x)dx=0$，则称 $f(x),g(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上的一组正交函数.给出三组函数：

① $f(x)=\sin \frac{1}{2}x,g(x)=\cos \frac{1}{2}x$；

② $f(x)=x+1,g(x)=x-1$；

③ $f(x)=x,g(x)=x^2$.

其中为区间 $[-1,1]$ 上的正交函数的组数是()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解定义：计算各组中 $f(x)\cdot g(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的定积分。若结果为 0，则为正交函数。
2. 利用奇偶性（快速求解技巧）：在对称区间 $[-a,a]$ 上，奇函数的定积分为 0。如果 $f(x)g(x)$ 是奇函数，则直接判定为正交函数。
3. 分步验证：
   • 对于 ①，利用倍角公式 $\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$ 转化。
   • 对于 ②，展开多项式后利用微积分基本定理计算。
   • 对于 ③，判断积函数的奇偶性。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

验证 ①： $f(x)g(x)=\sin \frac{1}{2}x\cos \frac{1}{2}x=\frac{1}{2}\sin x$。 因为 $y=\frac{1}{2}\sin x$ 是奇函数，根据奇函数在对称区间上的积分性质： ${\int }_{-1}^1\frac{1}{2}\sin xdx=0$ 故 ① 是正交函数。

验证 ②： $f(x)g(x)=(x+1)(x-1)=x^2-1$。 该函数为偶函数，需具体计算： ${\int }_{-1}^1(x^2-1)dx=\left(\frac{1}{3}{x}^3-x\right){|}_{-1}^1=\left(\frac{1}{3}-1\right)-\left(-\frac{1}{3}+1\right)=-\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}\ne 0$ 故 ② 不是正交函数。

验证 ③： $f(x)g(x)=x\cdot x^2=x^3$。 因为 $y=x^3$ 是奇函数，根据奇函数在对称区间上的积分性质： ${\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=0$ 故 ③ 是正交函数。

综上所述，满足条件的组数为 2 组。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分计算与函数的奇偶性

2. 核心方法：利用奇函数在对称区间积分为 0 快速判定正交性，偶函数再具体计算

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 微积分基本定理与奇偶函数定积分性质

2. 结论推广: 奇函数在 $[-a,a]$ 上定积分为 0。

3. 方法推广: 可迁移到新定义下的定积分判定、利用奇偶性简化计算类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-12 填-定积分运算
• 2013-福建卷理-15 填-定积分
• 2013-江西卷理-06 单-定积分