2014-湖南卷文-20 解-圆锥曲线

本题导读

(1) 由正方形条件求 $a_1$、$c_2$，再代入点 $P$ 求 $b_1$、$a_2$、$b_2$；(2) 设 $l:y=kx+m$，把「相切」与「$OA\cdot OB=0$」分别化为 $k,m$ 的方程，联立判断。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 如图，$O$ 为坐标原点，双曲线 $C_1:\frac{x^2}{a_1^2}-\frac{y^2}{b_1^2}=1$（$a_1>0$，$b_1>0$）和椭圆 $C_2:\frac{y^2}{a_2^2}+\frac{x^2}{b_2^2}=1$（$a_2>b_2>0$）均过点 $P\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},1\right)$，且以 $C_1$ 的两个顶点和 $C_2$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 $2$ 的正方形.

(1) 求 $C_1$，$C_2$ 的方程；

(2) 是否存在直线 $l$，使得 $l$ 与 $C_1$ 交于 $A$，$B$ 两点，与 $C_2$ 只有一个公共点，且 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{AB}|$？证明你的结论.

🔍【思路分析】

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(1) 正方形顶点 $(a_1,0)$、$(0,c_2)$，边长相等定 $a_1=c_2$；(2) 设 $l:y=kx+m$ 联立。

✅【答案】

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(1) $C_1:x^2-\frac{y^2}{3}=1$，$C_2:\frac{y^2}{3}+\frac{x^2}{2}=1$；(2) 不存在，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $C_1$ 的两个顶点为 $(\pm a_1,0)$，$C_2$ 的两个焦点为 $(0,\pm c_2)$，其中 $c_2^2=a_2^2-b_2^2$。以这四点为顶点的四边形是正方形且面积为 $2$，故对角线互相垂直平分且相等：$a_1=c_2$，面积 $\frac{1}{2}(2a_1)(2c_2)=2a_1^2=2$，得 $a_1=1$，$c_2=1$。 将 $P\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},1\right)$ 代入 $C_1$：$\frac{4}{3}-\frac{1}{b_1^2}=1$，得 $b_1^2=3$，故 $C_1:x^2-\frac{y^2}{3}=1$。 由 $c_2=1$ 得 $a_2^2-b_2^2=1$；将 $P$ 代入 $C_2$：$\frac{1}{a_2^2}+\frac{4}{3b_2^2}=1$。代入 $a_2^2=b_2^2+1$ 得 $3b_2^2+4(b_2^2+1)=3b_2^2(b_2^2+1)$，即 $3b_2^4-4b_2^2-4=0$，解得 $b_2^2=2$，$a_2^2=3$，故 $C_2:\frac{y^2}{3}+\frac{x^2}{2}=1$。 (2) 设 $l:y=kx+m$。与 $C_1$ 联立：$3x^2-(kx+m{)}^2=3$，即 $(3-k^2)x^2-2kmx-m^2-3=0$，有两交点需 $3-k^2\ne 0$ 且 ${\Delta }_1=4k^2{m}^2+4(3-k^2)(m^2+3)>0$。 与 $C_2$ 联立：$2(kx+m{)}^2+3x^2=6$，即 $(2k^2+3)x^2+4kmx+2m^2-6=0$，只有一个公共点即相切，$\Delta =0$：$16k^2{m}^2=4(2k^2+3)(2m^2-6)$，化简得 $m^2=2k^2+3$①。 由 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{AB}|$ 得 $(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}{)}^2=(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{)}^2$，即 $4\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，故 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。由韦达定理 $x_1+x_2=\frac{2km}{3-k^2}$，$x_1{x}_2=\frac{-m^2-3}{3-k^2}$，则 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=(1+k^2)x_1{x}_2+km(x_1+x_2)+m^2=\frac{(1+k^2)(-m^2-3)+2k^2{m}^2+m^2(3-k^2)}{3-k^2}=\frac{2m^2-3-3k^2}{3-k^2}=0$， 得 $m^2=\frac{3+3k^2}{2}$②。联立①②：$\frac{3+3k^2}{2}=2k^2+3$，得 $k^2=-3$，无实数解。 所以不存在满足条件的直线 $l$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线、椭圆的方程与存在性探究

2. 核心方法：几何条件定参数、向量条件转化为 $OA\cdot OB=0$

3. 避坑指南：(2) 中 $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{AB}|$ 等价于 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，联立消元后用韦达定理表达该条件；再与「与椭圆相切」的判别式条件联立，得出 $k^2=-3$ 无解，从而不存在。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 双曲线与椭圆共点、直线位置关系的存在性证明。

2. 结论推广: $|OA+OB|=|AB|⟺OA\cdot OB=0$；与椭圆相切 $⟺$ 联立后 $\Delta =0$。

3. 方法推广: 存在性问题的标准流程：先假设存在、写出全部约束、消元求解；若出现无解（如 $k^2<0$），即证不存在。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷理-10 单-函数对称性
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质