2012-湖北卷文-21 解-单位圆轨迹与椭圆

本题导读

本题考查相关点法求轨迹方程。核心在于坐标法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 设 $A$ 是单位圆 $x^2+y^2=1$ 上的任意一点，$l$ 是过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线，$D$ 是直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，点 $M$ 在直线 $l$ 上，且满足 $|DM|=m|DA|$（$m>0$ 且 $m\ne 1$）. 当点 $A$ 在圆上运动时，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$.

(1)求曲线 $C$ 的方程，判断曲线 $C$ 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

(2)过原点且斜率为 $k$ 的直线交曲线 $C$ 于 $P$，$Q$ 两点，其中 $P$ 在第一象限，它在 $y$ 轴上的射影为点 $N$，直线 $QN$ 交曲线 $C$ 于另一点 $H$. 是否存在 $m$，使得对任意的 $k>0$，都有 $PQ\perp PH$？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

$M(x,y)$ 满足 $x=\cos \theta$，$y=\pm m\sin \theta$，得 $\frac{y^2}{m^2}+x^2=1$（椭圆）；第（2）问算得 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PH}=\frac{4x_0^2{y}_0^2(2-m^2)}{m^2{x}_0^2+4y_0^2}$，故 $m=\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(1)曲线 $C$ 的方程为 $x^2+\frac{y^2}{m^2}=1$，是椭圆；$0<m<1$ 时焦点为 $\left(\pm \sqrt{1-m^2},0\right)$，$m>1$ 时焦点为 $\left(0,\pm \sqrt{m^2-1}\right)$

(2)存在，$m=\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $M(x,y)$，$A(x_A,y_A)$。因 $M$ 在过 $A$ 且垂直于 $x$ 轴的直线上，故 $x_A=x$；$D(x,0)$，$|DA|=|y_A|$，$|DM|=|y|$。

由 $|DM|=m|DA|$ 得 $|y|=m|y_A|$，即 $y_A^2=\frac{y^2}{m^2}$。又 $A$ 在单位圆上，$x^2+y_A^2=1$，代入得

$x^2+\frac{y^2}{m^2}=1$。

因 $m>0$ 且 $m\ne 1$，曲线 $C$ 是焦点在坐标轴上的椭圆：当 $0<m<1$ 时，焦点在 $x$ 轴上，为 $\left(\pm \sqrt{1-m^2},0\right)$；当 $m>1$ 时，焦点在 $y$ 轴上，为 $\left(0,\pm \sqrt{m^2-1}\right)$。

（2）设 $P(x_0,y_0)$（$x_0>0$，$y_0>0$），则 $x_0^2+\frac{y_0^2}{m^2}=1$，$N(0,y_0)$，$Q(-x_0,-y_0)$。

直线 $QN$ 的斜率为 $\frac{y_0-(-y_0)}{0-(-x_0)}=\frac{2y_0}{x_0}$，方程为 $y=\frac{2y_0}{x_0}x+y_0$。

代入 $x^2+\frac{y^2}{m^2}=1$，去分母整理：$\left(m^2{x}_0^2+4y_0^2\right)x^2+4x_0{y}_0^{2}x+\left(x_0^2{y}_0^2-m^2{x}_0^2\right)=0$。

记 $T=m^2{x}_0^2+4y_0^2$。由 $y_0^2=m^2(1-x_0^2)$ 知常数项 $x_0^2{y}_0^2-m^2{x}_0^2=m^2{x}_0^2(1-x_0^2)-m^2{x}_0^2=-m^2{x}_0^4$，故两根之积为 $-\frac{m^2{x}_0^4}{T}$。

又 $x=-x_0$（即点 $Q$ 的横坐标）满足方程，是一根，于是另一根 $x_H=\frac{-m^2{x}_0^4/T}{-x_0}=\frac{m^2{x}_0^3}{T}$。

代回直线方程得 $y_H=\frac{2y_0}{x_0}\cdot \frac{m^2{x}_0^3}{T}+y_0=\frac{y_0\left(3m^2{x}_0^2+4y_0^2\right)}{T}$，从而

$\overrightarrow{PH}=\left(x_H-x_0,y_H-y_0\right)=\left(-\frac{4x_0{y}_0^2}{T},\frac{2m^2{x}_0^2{y}_0}{T}\right)$，

而 $\overrightarrow{PQ}=(-2x_0,-2y_0)$，于是

$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PH}=\frac{8x_0^2{y}_0^2-4m^2{x}_0^2{y}_0^2}{T}=\frac{4x_0^2{y}_0^2\left(2-m^2\right)}{m^2{x}_0^2+4y_0^2}$。

要使对任意的 $k>0$（即任意的 $x_0\in (0,1)$，此时 $x_0{y}_0\ne 0$）都有 $PQ\perp PH$，必须且只需 $2-m^2=0$，即 $m=\sqrt{2}$。

故存在 $m=\sqrt{2}$，使得对任意的 $k>0$，都有 $PQ\perp PH$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相关点法（代入法）求轨迹方程；椭圆焦点位置与 $m$ 的大小关系；直线与椭圆联立的韦达定理；向量垂直的数量积条件

核心方法：轨迹用”设 M 写 A、代入圆方程”的相关点法；第（2）问把垂直条件化为数量积，整理成只含 $m$ 的因式，由”对任意 k 成立”定参数

避坑指南：焦点位置取决于 $m$ 与 $1$ 的大小，必须分两档讨论；第（2）问中 $N$ 是 $P$ 在 $y$ 轴上的射影（不是 $x$ 轴），直线 $QN$ 的斜率是 $\frac{2y_0}{x_0}$；由于要求对任意 $k$ 成立，只能让系数 $2-m^2$ 恒为零，而不是找特殊的 $k$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：单位圆伸缩成椭圆与定点定值类综合题，与 2013 年陕西卷文第 22 题、2014 年湖南卷文第 20 题同族。

结论推广：单位圆 $x^2+y^2=1$ 沿 $y$ 轴伸缩 $m$ 倍得椭圆 $x^2+\frac{y^2}{m^2}=1$；对过中心的弦 $PQ$ 与特殊构造的割线 $QN$，垂直成立的参数由 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PH}$ 的公因式确定。

方法推广：“存在 m 使得对任意 k 成立”型问题：把数量积算成”参数因式 × 随 k 变的因子”，再由恒为零抽出参数方程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.08 一般曲线与方程
• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-22 解-轨迹方程与椭圆
• 2014-湖南卷文-20 解-圆锥曲线
• 2013-新课标II卷文-20 解-圆的方程与轨迹