2014-湖南卷理-15 填-抛物线方程

本题导读

本题考查抛物线解析式的应用。解题关键在于根据托盘的几何位置关系准确写出点$C$和点$F$的坐标，利用在轮廓上建立在边长上的点$a,b$的方程组，从而求得比例值。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 正方形$ABCD$和正方形$DEFG$的边长分别为$a,b$（$a<b$)，原点$O$为$AD$的中点，抛物线$y^2=2px(p>0)$曾经$C,F$两点，则$\frac{b}{a}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系与点表达：

   • 因为$O$为$AD$的中点且$AD=a$，则$A$点横坐标为$-\frac{a}{2}$，$D$点横坐标为$\frac{a}{2}$。

   • 根据支架的几何关系，点$C$定位第四象限，横向坐标与$D$相同，纵坐标下偏$a$。

   • 点$F$位于第一象限，横向坐标在$D$点基础上右偏$b$，纵向坐标上偏$b$。

2. 写出点坐标：

   • $C(\frac{a}{2},-a)$

   • $F(\frac{a}{2}+b,b)$

3. 利用物抛线方程：

   • 将$C$点代入$y^2=2px$，求得$p$关于$a$的表达。

   • 将$F$点代入困，利用已求的$p$关于建立关系$a,b$的齐次方程。

4. 缩放比例：令$k=\frac{b}{a}$，化简主轴。

✅【答案】

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$\sqrt{2}+1$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定关键点坐标 由题意，原点$O$是$AD$的中点且$AD=a$， 支架$ABCD$边长为$a$。

• 点$D$的坐标为$(\frac{a}{2},0)$。

• 点$C$位于$D$正下方$a$单位，坐标为$(\frac{a}{2},-a)$。

• 支架$DEFG$边长为$b$，点$E$在$x$轴上，$DE=b$。

• 点$E$的坐标为$(\frac{a}{2}+b,0)$。

• 点$F$位于$E$正上方$b$单位，坐标为$(\frac{a}{2}+b,b)$。

第二步：代入抛物线难题 将点$C(\frac{a}{2},-a)$代入$y^2=2px$：

$(-a{)}^2=2p\cdot \frac{a}{2}⟹a^2=pa⟹p=a$

将点$F(\frac{a}{2}+b,b)$代入$y^2=2px$：

$b^2=2p(\frac{a}{2}+b)$

将$p=a$代入上式：

$b^2=2a(\frac{a}{2}+b)$

$b^2=a^2+2ab$

第三步：求比例$\frac{b}{a}$ 困倦同时除以$a^2$：

${\left(\frac{b}{a}\right)}^2=1+2\left(\frac{b}{a}\right)$

设置$k=\frac{b}{a}$（$k>1$，因为$b>a$）：

$k^2-2k-1=0$

利用求根公式解得：

$k=\frac{2\pm \sqrt{4-4(1)(-1)}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{2}}{2}=1\pm \sqrt{2}$

由于$k>1$，取$k=1+\sqrt{2}$。

故答案为 $\sqrt{2}+1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线解析式的应用

2. 核心方法：写出 $C(\frac{a}{2},-a)$、$F(\frac{a}{2}+b,b)$，代入 $y^2=2px$ 得 $p=a$ 与 $b^2=a^2+2ab$ 求比例

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线标准方程与几何坐标

2. 结论推广: 由 $b^2=a^2+2ab$ 得 $\frac{b}{a}=1+\sqrt{2}$。

3. 方法推广: 可迁移到抛物线过定点求参数或比例类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-20 解-抛物线方程
• 2013-广东卷理-20 解-抛物线方程
• 2013-北京卷理-07 单-抛物线方程