2014-湖南卷理-19 解-直线与平面垂直判定

本题导读

本题考查立体几何中的线面垂直证明及二面角的计算。第一问利用线垂直推导线面垂直；第二问通过建立空间直角坐标系，利用夹角求得二面角的余弦值。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 如图，四棱柱$ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$所有的棱长都能够，$AC\cap BD=O$，$A_1{C}_1\cap B_1{D}_1=O_1$，四边形$AC{C}_1{A}_1$和四边形$BD{D}_1{B}_1$

(1) 证明：$O_{1}O\perp$底面$ABCD$；

(2) 若$\angle CBA=60^{\circ }$，求二面角$C_1-O{B}_1-D$的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：

   • 根据长棱，判定底面$ABCD$为菱形，从而$AC\perp BD$。

   • 利用产权，推导$O_{1}O$与$C{C}_1$及$B{B}_1$的平行关系。

   • 证明$O_{1}O$垂直于底面内的扭转相交直线$AC$和$BD$，最先得证。

2. 第二问：

   • 建立坐标系：以$O$为原点，$OB,OC,O{O}_1$分别为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系。

   • 坐标化：设定棱长为2。根据$\angle CBA=60^{\circ }$确定底面菱形各顶点的坐标及坐标高度。

   • 求法提供：分别计算平面$O{B}_1{C}_1$和平面$O{B}_{1}D$（即底面相关平面）的法施。

   • 余弦值：利用公式$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}$计算。

✅【答案】

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答：二面角$C_1-O{B}_1-D$的余弦值$\frac{2\sqrt{57}}{19}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 名称： 因为四棱柱$ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$所有棱的长都坚固，所以底面四边形$ABCD$和上底面$A_1{B}_1{C}_1{D}_1$因为菱形。$AC\cap BD=O$，$A_1{C}_1\cap B_1{D}_1=O_1$，所以$O,O_1$分别为对应菱形对角线的交点（中点）。在四棱柱中，$A{A}_1//C{C}_1//B{B}_1//D{D}_1$，且$A{A}_1=C{C}_1=B{B}_1=D{D}_1$又四边形$AC{C}_1{A}_1$为拟，所以$C{C}_1\perp AC$。 由于$O_1,O$分别为$A_1{C}_1$和$AC$的中点，由形状知$O_{1}O//C{C}_1$，故$O_{1}O\perp AC$。 同理，四边形$BD{D}_1{B}_1$为合理，可得$O_{1}O//B{B}_1$且$B{B}_1\perp BD$，故$O_{1}O\perp BD$又$AC\cap BD=O$，且$AC,BD\subset$平面$ABCD$，所以$O_{1}O\perp$平面$ABCD$。

(2) 解： 由(1)知$OA,OB,O{O}_1$以两两垂直。$O$为原点，$OB,OC,O{O}_1$位于直线分别为$x,y,z$轴建立空间直角坐标系。设定棱长为2。在菱形上$ABCD$中，$\angle CBA=60^{\circ }$，则$△ABC$为等边三角形。故$AC=AB=2,OC=1,OB=\sqrt{3}$各点坐标为：$O(0,0,0),B(\sqrt{3},0,0),C(0,1,0),B_1(\sqrt{3},0,2),C_1(0,1,2),D(-\sqrt{3},0,0)$。

由题意可知，平面$O{B}_{1}D$即为平面$BD{D}_1{B}_1$，其法可供取为$\overrightarrow{n_1}=(0,1,0)$。 设计平面$O{B}_1{C}_1$的法为$\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{O{B}_1}=(\sqrt{3},0,2),\overrightarrow{O{C}_1}=(0,1,2)$。则$\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{O{B}_1}=\sqrt{3}x+2z=0\\ \overrightarrow{n_2}\cdot \overrightarrow{O{C}_1}=y+2z=0\end{array}$ 令$z=-\sqrt{3}$，得$x=2,y=2\sqrt{3}$。故$\overrightarrow{n_2}=(2,2\sqrt{3},-\sqrt{3})$。

二面角$C_1-O{B}_1-D$的余弦值$\cos \theta$为：

$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|0+2\sqrt{3}+0|}{1\cdot \sqrt{4+12+3}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{57}}{19}$

答：二面角$C_1-O{B}_1-D$的余弦值$\frac{2\sqrt{57}}{19}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直判定与二面角计算

2. 核心方法：证 $O_{1}O$ 垂直底面两相交直线得线面垂直，建系求两平面法向量算二面角余弦

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 线面垂直判定定理与空间向量法求二面角

2. 结论推广: 二面角余弦值 $=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}$。

3. 方法推广: 可迁移到空间垂直证明与二面角计算类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定
• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2013-湖北卷理-19 解-直线与平面平行、垂直判定