2014-辽宁卷文-07 单-三视图体积

本题导读

三视图的外轮廓是棱长为 $2$ 的正方形，说明母体是正方体；俯视图中被挖去的弧是半径为 $1$ 的四分之一圆。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()

A. $8-\frac{\pi }{4}$　　　　　　B. $8-\frac{\pi }{2}$　　　　　　C. $8-\pi$　　　　　　D. $8-2\pi$

🔍【思路分析】

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母体是棱长为 $2$ 的正方体，挖去两个半径为 $1$、高为 $2$ 的四分之一圆柱。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，主视图与左视图都是边长为 $2$ 的正方形，说明该几何体在一个棱长为 $2$ 的正方体框架内；俯视图是正方形在相对的两个角处各截去了一个半径为 $1$ 的四分之一圆弧。 因此该几何体可看作从棱长为 $2$ 的正方体中挖去两个柱体，每个柱体是底面半径为 $1$、高为 $2$ 的四分之一圆柱： $V_{\text{正方体}}=2^3=8$， 每个挖去部分体积为 $\frac{1}{4}\pi \cdot 1^2\cdot 2=\frac{\pi }{2}$，两个共为 $\pi$。 所以 $V=8-\pi$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图与几何体的体积

2. 核心方法：割补法（体积减法）

3. 避坑指南：俯视图中的圆弧是「两个」$90^{\circ }$ 扇形，挖去的是两个半径为 $1$、高为 $2$ 的四分之一圆柱，共挖去 $\pi$；只算一个会错选 $8-\frac{\pi }{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三视图的识别与柱体体积公式。

2. 结论推广: 四分之一圆柱的体积 $V=\frac{1}{4}\pi r^{2}h$；本题中 $r=1$，$h=2$。

3. 方法推广: 带孔洞、缺角的几何体优先用「大体积减小体积」的割补法，比直接求底面积更快。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.06 正方体的性质

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-07 单-几何体的表面积与体积计算
• 2014-安徽卷理-07 单-直观图的还原