2014-辽宁卷理-07 单-几何体的表面积与体积计算

本题导读

本题考查根据三视图还原几何体并计算其体积。核心意图是考察空间想象能力，通过“大体积减小体积”的方式简化复杂形状的计算。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()

A. $8-2\pi$　　　　　B. $8-\pi$　　　　　C. $8-\frac{\pi }{2}$　　　　　D. $8-\frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析三视图还原几何体：
   • 主视图与左视图均为边长为 $2$ 的正方形，说明该几何体是在一个棱长为 $2$ 的正方体框架内。
   • 俯视图是一个正方形截去了两个半径为 $1$ 的圆弧。这表明几何体是一个正方体在相对的两个角处，分别垂直向下挖去了两个柱状体。
2. 确定挖去的形状：
   • 俯视图中截去的圆弧半径为 $1$，对应的柱体高度为正方体的棱长 $2$。
   • 每一个被挖去的部分是半径为 $1$、高为 $2$ 的圆柱的 $\frac{1}{4}$。
3. 体积计算：总体积 $V=V_{\text{正方体}}-2\times V_{\text{1/4圆柱}}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原空间几何体 由三视图可知，该几何体可以看作是从一个棱长为 $2$ 的正方体中，截去了两个相同的柱体。

第二步：计算正方体的体积 正方体棱长 $a=2$，则其体积为： $V_{\text{正方体}}=a^3=2^3=8$

第三步：计算挖去部分的体积 俯视图显示挖去了两个半径为 $r=1$ 的圆心角为 $90^{\circ }$ 的扇形区域对应的柱体。 每个柱体的高度 $h=2$。 一个 $\frac{1}{4}$ 圆柱的体积为： $V_{\text{1/4圆柱}}=\frac{1}{4}\cdot \pi r^2\cdot h=\frac{1}{4}\cdot \pi \cdot 1^2\cdot 2=\frac{\pi }{2}$

第四步：求最终体积 由于挖去了两个这样的部分，所以总共挖去的体积为 $\pi$。 $V=V_{\text{正方体}}-2\cdot V_{\text{1/4圆柱}}=8-2\cdot \frac{\pi }{2}=8-\pi$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图的识别与还原，柱体（圆柱、棱柱）体积公式 $V=Sh$。

2. 核心方法：割补法。在处理有孔洞、缺角的几何体时，用一个规则的父体减去挖去的部分通常比直接构建底面积更快捷。

3. 避坑指南：俯视图中圆弧的半径需看准（正方形边长为 $2$，圆弧圆心在顶点，半径可知为 $1$）。同时注意数量，本题中是对角挖去了“两个”部分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 表面积计算（需注意侧面积与底面截面积的增加与减少）。

2. 结论推广: 若俯视图中挖去的是一个完整的内切圆，则体积为 $8-2\pi$（对应选项 A）。

3. 方法推广: 面对带有曲面的三视图，先找投影特征（圆或弧），确定母体形状（圆柱或圆锥）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2023-新高考I卷-14 填-体积
• 2023-新高考II卷-14 填-体积
• 2013-新课标I卷理-06 单-球的体积与表面积