2014-辽宁卷文-09 单-数列单调

本题导读

把「指数型数列递减」转化为「指数上的数列递减」，再作差。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，若数列 $\{2^{a_1{a}_n}\}$ 为递减数列，则()

A. $d<0$　　　　　B. $d>0$　　　　　C. $a_{1}d>0$　　　　　D. $a_{1}d<0$

🔍【思路分析】

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底数 $2>1$，故 $2^{a_1{a}_n}$ 递减等价于 $a_1{a}_n$ 递减。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

记 $b_n=a_1{a}_n$。因为 $y=2^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递增，所以 $\{2^{b_n}\}$ 为递减数列等价于 $\{b_n\}$ 为递减数列。 于是对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 有 $b_{n+1}<b_n$，即 $a_1{a}_{n+1}<a_1{a}_n$， 移项得 $a_1(a_{n+1}-a_n)<0$，即 $a_{1}d<0$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的单调性与指数型数列

2. 核心方法：作商比较（指数函数的单调性）

3. 避坑指南：数列 $\{2^{a_1{a}_n}\}$ 递减，即 $2^{a_1{a}_{n+1}}<2^{a_1{a}_n}$，利用底数 $2>1$ 的单调性得 $a_1(a_{n+1}-a_n)=a_{1}d<0$；不要只在 $a_1=1$ 的特例上验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列与指数函数的交汇。

2. 结论推广: $2^x$ 单调递增，故 $\{2^{b_n}\}$ 递减等价于 $\{b_n\}$ 递减。

3. 方法推广: 指数型数列的单调性一律「脱去指数」转化为指数上的数列的单调性，再作差（或作商）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-08 单-等差数列通项
• 2014-新课标I卷理-17 解-由 a_n 与 S_n 的关