2014-辽宁卷文-10 单-分段函数不等式

本题导读

令 $t=x-1$，先在 $t⩾0$ 上分段解 $f(t)⩽\frac{1}{2}$，再用偶函数性质补出 $t<0$ 的部分。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 已知 $f(x)$ 为偶函数，当 $x⩾0$ 时，$f(x)=\{\begin{array}{ll}\cos \pi x,& x\in \left[0,\frac{1}{2}\right],\\ 2x-1,& x\in \left(\frac{1}{2},+\infty \right),\end{array}$ 则不等式 $f(x-1)⩽\frac{1}{2}$ 的解集为()

A. $\left[\frac{1}{4},\frac{2}{3}\right]\cup \left[\frac{4}{3},\frac{7}{4}\right]$　　　　　　　　　　　　B. $\left[-\frac{3}{4},-\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{1}{4},\frac{2}{3}\right]$

C. $\left[\frac{1}{3},\frac{3}{4}\right]\cup \left[\frac{4}{3},\frac{7}{4}\right]$　　　　　　　　　　　　D. $\left[-\frac{3}{4},-\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{1}{3},\frac{3}{4}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

分两段解 $f(t)⩽\frac{1}{2}$：$t\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ 用 $\cos \pi t$，$t>\frac{1}{2}$ 用 $2t-1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=x-1$，先解 $t⩾0$ 时的不等式 $f(t)⩽\frac{1}{2}$。 当 $t\in \left[0,\frac{1}{2}\right]$ 时，$f(t)=\cos \pi t⩽\frac{1}{2}$。因为 $\pi t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，$\cos$ 在此区间上递减，由 $\cos \pi t⩽\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi }{3}$ 得 $\pi t⩾\frac{\pi }{3}$，即 $t⩾\frac{1}{3}$，故 $t\in \left[\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right]$。 当 $t\in \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$ 时，$f(t)=2t-1⩽\frac{1}{2}$，解得 $t⩽\frac{3}{4}$，故 $t\in \left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right]$。 综上，$t⩾0$ 时 $t\in \left[\frac{1}{3},\frac{3}{4}\right]$。 又 $f$ 为偶函数，其图象关于 $y$ 轴对称，故 $t<0$ 时 $t\in \left[-\frac{3}{4},-\frac{1}{3}\right]$。 所以 $t=x-1\in \left[-\frac{3}{4},-\frac{1}{3}\right]\cup \left[\frac{1}{3},\frac{3}{4}\right]$， 解得 $x\in \left[\frac{1}{4},\frac{2}{3}\right]\cup \left[\frac{4}{3},\frac{7}{4}\right]$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数与偶函数的不等式

2. 核心方法：分类讨论与对称性转化

3. 避坑指南：先解出 $t=x-1⩾0$ 时的解集 $t\in \left[\frac{1}{3},\frac{3}{4}\right]$，再由偶函数的对称性取负得 $t\in \left[-\frac{3}{4},-\frac{1}{3}\right]$；选项 D 正是「漏掉平移、把 $t$ 的解集当 $x$ 的解集」的典型错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 偶函数的对称性与分段函数解不等式。

2. 结论推广: 偶函数满足 $f(-t)=f(t)$，因此 $f(t)⩽\frac{1}{2}$ 的解集关于 $y$ 轴对称。

3. 方法推广: 复合不等式 $f(x-1)⩽c$ 分两步：先求 $f(t)⩽c$ 的解集 $D$，再由 $x-1\in D$ 解出 $x$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-12 单-抽象函数与性质
• 2014-辽宁卷理-24 解-绝对值不等式