2014-辽宁卷文-18 解-独立性检验

本题导读

(1) 把列联表数据代入 ${\chi }^2$ 公式，与 $3.841$ 比较；(2) 分「$0$ 人喜欢甜品」与「$1$ 人喜欢甜品」两种情况计数。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

	喜欢甜品	不喜欢甜品	合计
南方学生	$60$	$20$	$80$
北方学生	$10$	$10$	$20$
合计	$70$	$30$	$100$

(1) 根据表中数据，问是否有 $95\%$ 的把握认为「南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异」；

(2) 已知在被调查的北方学生中有 $5$ 名数学系的学生，其中 $2$ 名喜欢甜品，现在从这 $5$ 名学生中随机抽取 $3$ 人，求至多有 $1$ 人喜欢甜品的概率.

附：${\chi }^2=\frac{n(n_{11}{n}_{22}-n_{12}{n}_{21}{)}^2}{n_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$，

$P({\chi }^2⩾k)$	$0.100$	$0.050$	$0.010$
$k$	$2.706$	$3.841$	$6.635$

🔍【思路分析】

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(1) 取 $n=100$，$n_{11}=60$，$n_{12}=20$，$n_{21}=10$，$n_{22}=10$ 代入公式；(2) ${\mathrm{C}}_5^3=10$，其中至多 $1$ 人喜欢甜品的取法为 ${\mathrm{C}}_2^0{\mathrm{C}}_3^3+{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_3^2=1+6=7$。

✅【答案】

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(1) 有 $95\%$ 的把握认为有差异；(2) $\frac{7}{10}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题中给出的公式，取 $n=100$，$n_{11}=60$，$n_{12}=20$，$n_{21}=10$，$n_{22}=10$，以及 $n_{1+}=80$，$n_{2+}=20$，$n_{+1}=70$，$n_{+2}=30$，得 ${\chi }^2=\frac{100(60\times 10-20\times 10{)}^2}{80\times 20\times 70\times 30}=\frac{100\times 400^2}{3360000}=\frac{100}{21}\approx 4.762$。 因为 $4.762>3.841$，所以有 $95\%$ 的把握认为南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异。 (2) 从 $5$ 名学生中随机抽取 $3$ 人，所有等可能的结果数为 ${\mathrm{C}}_5^3=10$。 「至多有 $1$ 人喜欢甜品」包含「抽到 $0$ 人喜欢甜品」与「抽到 $1$ 人喜欢甜品」两种情形，取法数分别为 ${\mathrm{C}}_2^0{\mathrm{C}}_3^3=1$ 与 ${\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_3^2=6$。 所以所求概率为 $P=\frac{{\mathrm{C}}_2^0{\mathrm{C}}_3^3+{\mathrm{C}}_2^1{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_5^3}=\frac{1+6}{10}=\frac{7}{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立性检验与古典概型

2. 核心方法：卡方公式代入 + 组合计数

3. 避坑指南：${\chi }^2=\frac{100(60\times 10-20\times 10{)}^2}{80\times 20\times 70\times 30}=\frac{100}{21}\approx 4.762$，与临界值 $3.841$ 比较；代入时四个边缘和的位置最容易搞错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 独立性检验与古典概型。

2. 结论推广: ${\chi }^2=\frac{n(n_{11}{n}_{22}-n_{12}{n}_{21}{)}^2}{n_{1+}{n}_{2+}{n}_{+1}{n}_{+2}}$；${\chi }^2>3.841$ 时约有 $95\%$ 的把握认为两变量有关。

3. 方法推广: 「至多 $1$ 人」型概率按「恰有 $0$ 人 + 恰有 $1$ 人」分类，用组合数计数后求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 24.02 独立性检验与 2X2 列联表
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-江西卷理-06 单-卡方统计量 chi^2
• 2014-新课标I卷理-05 单-古典概型