2014-新课标I卷理-05 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型的基本计算。通过分步乘法计数原理确定样本空间总量，并结合对立事件的思想快速求出满足条件的事件数，是概率初学阶段的经典题目。

📌【题干】

Question

（2014年新课标I卷(理)） 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ()

A. $\frac{1}{8}$　　　　　　　B. $\frac{3}{8}$　　　　　　　C. $\frac{5}{8}$　　　　　　　D. $\frac{7}{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 计算总情况数：每位同学都有 2 种选择（周六或周日），利用分步乘法计数原理计算 4 位同学选择的总数。
2. 分析满足条件的事件：
   • 直接法：讨论周六 1 人周日 3 人、周六 2 人周日 2 人、周六 3 人周日 1 人。
   • 间接法（推荐）：寻找对立事件。周六、周日“都有人参加”的对立事件是“所有人都选在同一天参加”。
3. 计算概率：利用公式 $P(A)=1-P(\bar{A})$ 求解。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算样本空间总数 $n$ 4 位同学每人都有 2 种选择，根据分步乘法计数原理，总情况数为： $n=2\times 2\times 2\times 2=2^4=16$

第二步：利用对立事件寻找不满足条件的情况 “周六、周日都有人参加”的对立事件是“4 位同学都选在周六”或“4 位同学都选在周日”。

• 4 人都选在周六：只有 $1$ 种情况。
• 4 人都选在周日：只有 $1$ 种情况。 不满足条件的情况总数为：$1+1=2$ 种。

第三步：计算满足条件的事件数与概率 满足周六、周日都有人参加的情况数为： $m=16-2=14$ 所求概率为： $P=\frac{m}{n}=\frac{14}{16}=\frac{7}{8}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的定义式 $P(A)=\frac{m}{n}$。

2. 核心方法：间接法，用对立事件（补集思想）化繁为简。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项分布（可看作 $n=4,p=0.5$ 的独立重复试验）、条件概率。

2. 结论推广: 若有 $n$ 位同学在 $k$ 天中选一天，则每天都有人参加的概率计算涉及容斥原理或第二类斯特林数。

3. 方法推广: 面对“至少有一个”或“全部都满足”的逻辑判断，优先尝试补集法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-04 单-古典概型
• 2015-广东卷文-07 单-古典概型
• 2015-山东卷文-16 解-古典概型