2014-辽宁卷理-10 单-抛物线定义与性质

本题导读

本题考查抛物线的标准方程、准线方程以及直线与抛物线相切的综合应用。核心意图是利用切线条件确定切点坐标，进而求得指定两点连线的斜率。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 已知点 $A(-2,3)$ 在抛物线 $C:y^2=2px$ 的准线上，过点 $A$ 的直线与 $C$ 在第一象限相切于点 $B$，记 $C$ 的焦点为 $F$，则直线 $BF$ 的斜率为()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{2}{3}$　　　　　　　C. $\frac{3}{4}$　　　　　　　D. $\frac{4}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求抛物线方程：根据点 $A$ 在准线上，利用准线方程 $x=-\frac{p}{2}$ 求出 $p$ 的值。
2. 求切点 $B$ 坐标：
   • 设过点 $A(-2,3)$ 的切线方程。由于切点在第一象限，切线斜率存在且为正。
   • 联立切线与抛物线方程，利用判别式 $\Delta =0$ 求出斜率。
   • 将斜率代入方程求出唯一的交点，即切点 $B$ 的坐标。
3. 计算斜率：确定焦点 $F$ 坐标，利用斜率公式 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 计算 $k_{BF}$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定抛物线解析式 抛物线 $C:y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。 因为 $A(-2,3)$ 在准线上，所以 $-\frac{p}{2}=-2$，解得 $p=4$。 故抛物线方程为 $y^2=8x$，焦点 $F(2,0)$。

第二步：求切点 $B$ 坐标 设过点 $A(-2,3)$ 的切线方程为 $x=k(y-3)-2$（此处采用以 $y$ 为自变量的形式方便联立）。 联立 $\{\begin{array}{l}x=k(y-3)-2\\ y^2=8x\end{array}$，消去 $x$ 得： $y^2=8[k(y-3)-2]⟹y^2-8ky+24k+16=0$ 因为直线与抛物线相切，所以判别式 $\Delta =0$： $\Delta =(8k{)}^2-4(24k+16)=64k^2-96k-64=0$ 化简得：$2k^2-3k-2=0⟹(2k+1)(k-2)=0$。 解得 $k=2$ 或 $k=-\frac{1}{2}$。 若 $k=2$，代入二次方程得 $y^2-16y+64=0$，解得 $y=8$。此时 $x=\frac{8^2}{8}=8$。点 $B(8,8)$ 在第一象限，符合题意。 若 $k=-\frac{1}{2}$，代入得 $y^2+4y+4=0$，解得 $y=-2$。点在第四象限，舍去。

第三步：计算直线 $BF$ 的斜率 已知 $B(8,8)$，$F(2,0)$，则直线 $BF$ 的斜率为： $k_{BF}=\frac{8-0}{8-2}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的几何性质（焦点、准线）及直线与圆锥曲线的位置关系。

2. 核心方法：判别式法。对于相切问题，$\Delta =0$ 是建立参数方程的最直接手段。此外，也可以使用导数法对 $y=\sqrt{8x}$ 求导求解。

3. 避坑指南：在设直线方程时，注意考察斜率不存在的情况（本题中可知存在）；在求得两个 $k$ 值时，务必根据“第一象限”这一约束条件进行筛选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 光学性质（从焦点发出的光线经抛物线反射后平行于主轴）。

2. 结论推广: 抛物线 $y^2=2px$ 上一点 $(x_0,y_0)$ 处的切线方程为 $y{y}_0=p(x+x_0)$。利用此公式可更快求出切点。

3. 方法推广: 解析几何中“相切”往往意味着方程组有唯一解，对于二次曲线，等价于二次方程重根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 16.01 直线的倾斜角与斜率

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-20 解-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义