2014-辽宁卷文-08 单-抛物线斜率

本题导读

先由准线方程求 $p$，确定焦点 $F$ 的坐标，再用两点式求斜率。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(文)） 已知点 $A(-2,3)$ 在抛物线 $C:y^2=2px$ 的准线上，记 $C$ 的焦点为 $F$，则直线 $AF$ 的斜率为()

A. $-\frac{4}{3}$　　　　　　B. $-1$　　　　　　C. $-\frac{3}{4}$　　　　　　D. $-\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$，与 $x=-2$ 对照即可解出 $p$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $C:y^2=2px$ 的准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$。 因为点 $A(-2,3)$ 在准线上，所以 $-\frac{p}{2}=-2$，解得 $p=4$。 于是焦点的坐标为 $F\left(\frac{p}{2},0\right)$，即 $F(2,0)$。 由两点式得直线 $AF$ 的斜率 $k_{AF}=\frac{0-3}{2-(-2)}=-\frac{3}{4}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的准线与焦点

2. 核心方法：由准线定参数 $p$

3. 避坑指南：准线是 $x=-\frac{p}{2}$，由点 $A$ 在准线上解出 $p=4$；若把准线误写成 $x=-p$，就会算错焦点坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线的定义与几何性质。

2. 结论推广: 抛物线 $y^2=2px$ 的准线为 $x=-\frac{p}{2}$，焦点为 $\left(\frac{p}{2},0\right)$；$A(-2,3)$ 在准线上得 $-\frac{p}{2}=-2$。

3. 方法推广: 斜率问题一律用两点式 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，先由几何条件定出点的坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-10 单-抛物线定义与性质
• 2014-新课标I卷理-10 单-抛物线定义