2014-重庆卷文-10 单-分段函数零点

本题导读

$g(x)=0$ 即 $f(x)=m(x+1)$：先看 $x\in (0,1]$ 段定出 $m\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$，再看 $x\in (-1,0]$ 段（令 $t=x+1$）恰有 $2$ 根定负半轴。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x+1}-3,& x\in (-1,0],\\ x,& x\in (0,1],\end{array}$ 且 $g(x)=f(x)-mx-m$ 在 $(-1,1]$ 内有且仅有两个不同的零点，则实数 $m$ 的取值范围是()

A. $\left(-\frac{9}{4},-2\right]\cup \left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　　　　　　　　　　B. $\left(-\frac{11}{4},-2\right]\cup \left(0,\frac{1}{2}\right]$

C. $\left(-\frac{9}{4},-2\right]\cup \left(0,\frac{2}{3}\right]$　　　　　　　　　　　　D. $\left(-\frac{11}{4},-2\right]\cup \left(0,\frac{2}{3}\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

$g(x)=0⟺f(x)=m(x+1)$；右段解 $x=\frac{m}{1-m}$，左段令 $t=x+1$ 化为 $m{t}^2+3t-1=0$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$g(x)=0⟺f(x)=m(x+1)$。 (1) 当 $x\in (0,1]$ 时，$f(x)=x$，方程 $x=m(x+1)$ 的解为 $x=\frac{m}{1-m}$（$m\ne 1$）。 要使 $0<x⩽1$，需 $0<\frac{m}{1-m}⩽1$，解得 $0<m⩽\frac{1}{2}$，此时该段恰有 $1$ 个零点。 (2) 当 $x\in (-1,0]$ 时，令 $t=x+1\in (0,1]$，方程 $\frac{1}{t}-3=mt$ 化为 $m{t}^2+3t-1=0$。 ① 若 $m>0$：该二次式在 $t=0$ 处为 $-1<0$、在 $t=1$ 处为 $m+2>0$，且两根之积 $-\frac{1}{m}<0$，故在 $(0,1]$ 内恰有 $1$ 个根（另一根为负）。结合(1)，恰有 $2$ 个零点，一切 $m\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ 合题。 ② 若 $m<0$：(1)中 $x=\frac{m}{1-m}<0$ 不在 $(0,1]$，该段无零点，故须 $m{t}^2+3t-1=0$ 在 $(0,1]$ 内恰有 $2$ 个根。 判别式 $9+4m⩾0$ 得 $m⩾-\frac{9}{4}$；此时两根 $t=\frac{-3\pm \sqrt{9+4m}}{2m}$ 均为正，还须较大根 $t_2=\frac{-3-\sqrt{9+4m}}{2m}⩽1$，解得 $m⩽-2$。 当 $m=-\frac{9}{4}$ 时两根重合为 $t=\frac{2}{3}$，只有 $1$ 个零点，不合；当 $m=-2$ 时两根为 $t=1$ 与 $t=\frac{1}{2}$，恰 $2$ 个，合题。 故 $m\in \left(-\frac{9}{4},-2\right]$。 综上，$m\in \left(-\frac{9}{4},-2\right]\cup \left(0,\frac{1}{2}\right]$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的零点与分段函数

2. 核心方法：换元后分段计数、端点逐一验证

3. 避坑指南：负半段换元 $t=x+1$ 后区间变成 $(0,1]$，判别式只保证”有根”，还须较大根 $⩽1$ 才是”两根都在段内”；$m=-\frac{9}{4}$ 是重根（只 $1$ 个零点，须舍）、$m=-2$ 时恰有一根落在 $t=1$（即 $x=0$），这两个端点的取舍是本题成败关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的零点、分段函数、二次方程根的分布。

2. 结论推广: $g(x)=0⟺f(x)=m(x+1)$；负半段令 $t=x+1\in (0,1]$，方程化为 $m{t}^2+3t-1=0$。

3. 方法推广: 分段函数零点个数问题按段独立计数再相加，端点处逐一代入验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 20.16 零点问题

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-14 填-分段零点
• 2014-北京卷文-06 单-函数零点