2014-重庆卷文-19 解-导数单调性与极值

本题导读

(1) $f\acute{(}1)$ 与 $\frac{1}{2}$ 之积为 $-1$；(2) 代入 $a=\frac{5}{4}$ 后分子因式分解，按 $x$ 与 $5$ 的大小定号。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{x}{4}+\frac{a}{x}-\ln x-\frac{3}{2}$，其中 $a\in \mathbf{R}$，且曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线垂直于 $y=\frac{1}{2}x$.

(1) 求 $a$ 的值；

(2) 求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值.

🔍【思路分析】

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(1) $f\acute{(}x)=\frac{1}{4}-\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}$，$f\acute{(}1)=-\frac{3}{4}-a=-2$；(2) $f\acute{(}x)=\frac{(x-5)(x+1)}{4x^2}$，在 $x>0$ 上定号。

✅【答案】

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(1) $a=\frac{5}{4}$；(2) 单调递减区间 $(0,5)$，单调递增区间 $(5,+\infty )$；极小值 $f(5)=-\ln 5$，无极大值

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f\acute{(}x)=\frac{1}{4}-\frac{a}{x^2}-\frac{1}{x}$，故 $f\acute{(}1)=\frac{1}{4}-a-1=-\frac{3}{4}-a$。 切线垂直于 $y=\frac{x}{2}$，故切线斜率为 $-2$，即 $f\acute{(}1)=-2$，解得 $a=\frac{5}{4}$。 (2) 此时 $f(x)=\frac{x}{4}+\frac{5}{4x}-\ln x-\frac{3}{2}$，定义域为 $(0,+\infty )$。 $f\acute{(}x)=\frac{1}{4}-\frac{5}{4x^2}-\frac{1}{x}=\frac{x^2-4x-5}{4x^2}=\frac{(x-5)(x+1)}{4x^2}$。 当 $0<x<5$ 时 $f\acute{(}x)<0$，$f(x)$ 单调递减；当 $x>5$ 时 $f\acute{(}x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 故单调递减区间为 $(0,5)$，单调递增区间为 $(5,+\infty )$；在 $x=5$ 处取得极小值 $f(5)=\frac{5}{4}+\frac{1}{4}-\ln 5-\frac{3}{2}=-\ln 5$，无极大值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数的几何意义与单调性、极值

2. 核心方法：切线垂直定参、导数通分因式分解定号

3. 避坑指南：定义域是 $(0,+\infty )$，$f\acute{(}x)=0$ 的另一根 $x=-1$ 必须舍去（勿写成极值点）；“垂直于 $y=\frac{x}{2}$“意味着切线斜率为 $-2$，不是 $-\frac{1}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 导数的几何意义、利用导数研究单调性与极值。

2. 结论推广: $f\acute{(}x)=\frac{x^2-4x-5}{4x^2}=\frac{(x-5)(x+1)}{4x^2}$（$x>0$）。

3. 方法推广: 含 $\ln x$ 的函数先定定义域，导数通分后因式分解定号；“垂直于某直线”先化成斜率之积为 $-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-19 解-导数极值
• 2014-山东卷文-20 解-导数切线单调性