2014-重庆卷理-03 单-线性回归方程

本题导读

本题考查线性回归方程的基本性质。核心考点在于线性回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$，以及正相关关系对应的回归系数（斜率）符号。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 已知变量 $x$ 与 $y$ 正相关，且由观测数据算得样本平均数 $\bar{x}=3$，$\bar{y}=3.5$，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是()

A. $\hat{y}=0.4x+2.3$　　　　　　　　　　　　B. $\hat{y}=2x-2.4$

C. $\hat{y}=-2x+9.5$　　　　　　　　　　　　　D. $\hat{y}=-0.3x+4.4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析相关性：题目指出 $x$ 与 $y$ 正相关。在线性回归方程 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$ 中，正相关意味着回归系数（斜率） $\hat{b}>0$。由此可以排除斜率为负的选项。
2. 利用样本中心点：线性回归直线有一个重要的几何性质，即它必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。
3. 代入验证：将已知中心点 $(3,3.5)$ 代入剩余的选项中，看哪一个方程成立。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：根据正相关性筛选 已知 $x$ 与 $y$ 正相关，线性回归方程的斜率 $\hat{b}$ 必须为正数。

• C 选项斜率为 $-2<0$，排除；
• D 选项斜率为 $-0.3<0$，排除。

第二步：利用样本中心点验证 已知样本中心点为 $(3,3.5)$，回归直线必经过此点。

• 验证 A 选项：当 $x=3$ 时，$\hat{y}=0.4\times 3+2.3=1.2+2.3=3.5$。等式成立，说明直线过点 $(3,3.5)$。
• 验证 B 选项：当 $x=3$ 时，$\hat{y}=2\times 3-2.4=6-2.4=3.6\ne 3.5$。等式不成立。

综上所述，只有 A 选项符合要求。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性回归方程的性质。

2. 核心方法：正相关排除负斜率，代入样本中心点 $(3,3.5)$ 验证。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 回归直线必过样本中心点 $(\bar{x},\bar{y})$。

2. 结论推广: 正相关斜率 $>0$，回归直线过样本中心。

3. 方法推广: 选回归方程先看斜率符号再代入中心点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 24.01回归分析与线性拟合

类题演练 (Links)

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